2018高考数学大一轮复习第三章导数及其应用教师用书理

11

解析：易得(ln x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.设曲线y＝ln x＋2上的切点横坐标

xx＋11

为x1，曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标为x2，则y＝ln x＋2的切线方程为：y＝2x＋ln

x1

x1＋1，y＝ln(x＋1)的切线方程为：y＝

11＝??xx＋1，?xln x＋1＝ln?x＋1?－，??x＋1

1

2

2

1

2

2

1x2

x＋ln(x2＋1)－.根据题意，有x2＋1x2＋1

11

解得x1＝，x2＝－，∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.

22答案：1－ln 2

3．(20162全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝

f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

1

解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－x3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.

答案：y＝－2x－1

4．(20162全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，

f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2.

x故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0. (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－设g(x)＝ln x－1

则g′(x)＝－

1

a?x－1?

＞0.

x＋1

a?x－1?

，

x＋1

2

x2ax＋2?1－a?x＋1

，g(1)＝0. 2＝

?x＋1?x?x＋1?22

2

①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x＋2(1－a)x＋1≥x－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；

②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－?a－1?－1，x2＝a－1＋?a－1?－1.

9

2

2

由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，

因此g(x)＜0.

综上，a的取值范围是(－∞，2]．

[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)的导数为( ) A．2(x－a) C．3(x－a)

2

2

2

2

2

2

B．2(x＋a) D．3(x＋a)

3

2

3

2

2

22

解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)＝x－3ax＋2a， ∴f′(x)＝3(x－a)．

2．曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程是( ) A．x－3y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0

解析：选C ∵y＝sin x＋e， ∴y′＝cos x＋e， ∴y′|x＝0 ＝cos 0＋e＝2，

0

2

2

x B．x－2y＋2＝0 D．3x－y＋1＝0

xx∴曲线y＝sin x＋e在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 3．(20162安庆二模)给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )

A．在直线y＝－3x上 C．在直线y＝－4x上

B．在直线y＝3x上 D．在直线y＝4x上

x解析：选B f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，由题可知f″(x0)＝0，即4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.

4．(20162贵阳一模)曲线y＝xe在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为( )

1A．－

2e

xxxab221 B．－ C. D.

ee2e

解析：选D y′＝e＋xe，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋bya1a1

＋c＝0垂直，∴－＝－，∴＝，故选D.

b2eb2e

1x5．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－e图象的切线，则实数a＝________.

a 10