2019年江苏省扬州市中考数学一模试卷

②先判断出△MAC≌△NBA（AAS）．进而AM＝BN＝（3﹣

，进而得出B（3+b，），C

，b），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论．

【解答】解：（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A是智慧角， ∴AB＝

AC，

根据根据勾股定理得，BC＝AC， ∴∠B＝∠A＝45°， 故答案为45°；

（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D． 在Rt△ACD中，∠A＝45°， ∴AC＝

DC．

在Rt△BCD中，∠B＝30°， ∴BC＝2DC． ∴

＝

．

∴△ABC是智慧三角形．

（3）由题意可知∠ABC＝90°或∠BAC＝90°． ①当∠ABC＝90°时，如图3，

过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°． ∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°． ∴∠BCF＝∠ABE． ∴△BCF∽△ABE． ∴

＝

＝

＝

． a．

设AE＝a，则BF＝∵BE＝

，

∴CF＝2．

∵OG＝OA+AE﹣GE＝3+a﹣2＝1+a，CG＝EF＝

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+a，

∴B（3+a，），C（1+a，+a）．

∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴

（3+a）＝（1+a）（

+

a）＝k．

解得：a1＝1，a2＝﹣2（舍去）． ∴k＝

．

②当∠BAC＝90°时，如图4，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N． 则∠CMA＝∠CAB＝∠ANB＝90°． ∴∠MCA+∠CAM＝∠BAN+∠CAM＝90°． ∴∠MCA＝∠BAN． 由（1）知∠B＝45°． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴AC＝AB．

由①知△MAC∽△NBA． ∴△MAC≌△NBA（AAS）． ∴AM＝BN＝

．

设CM＝AN＝b，则ON＝3+b． ∴B（3+b，

），C（3﹣

，b）．

∵点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上， ∴

（3+b）＝（3﹣

+12． ．

或18+15

． ）b＝k．

解得：b＝9∴k＝18+15

综上所述，k＝4

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【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键．

28．（12分）如图①，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝

x+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．

2

（1）求二次函数的关系式及点C的坐标；

（2）如图②，若点P是直线AB上方的抛物线上一点，过点P作PD∥x轴交AB于点D，PE∥y轴交AB于点E，求PD+PE的最大值；

（3）如图③，若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，求出所有满足条件的点M的坐标．

【分析】（1）先根据一次函数解析式确定A（4，0），B（0，﹣2），再利用待定系数法求

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抛物线解析式；然后解方程﹣x+x﹣2＝0得C点坐标；

（2）如图2，先证明△PDE∽△OAB．利用相似比得到PD＝2PE．设P（m，﹣m+m﹣2），则E（m，m﹣2）．再利用m表示出PD+PE得到PD+PE＝3×[﹣m+m﹣2﹣（m﹣2）]，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图1，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆O1的圆心在对称轴上，设圆心O1的坐标为（，﹣t），根据半径相等得到（）+（﹣t+2）＝（﹣4）

2

2

2

2

2

2

+t，解方程求出t得到圆心O1的坐标为（，﹣2），然后确定⊙O1的半径半径为．从

2

而得到此时M点坐标；当点M在在直线AB下方时，作O1关于AB的对称点O2，如图2，通过证明∠O1AB＝∠OAB可判断O2在x轴上，则点O2的坐标为 （，0），然后计算出DM即可得到此时M点坐标． 【解答】解：（1）令y＝

＝0，解得x＝4，则A（4，0）．

令x＝0，得y＝﹣2，则B（0，﹣2）； ∵二次函数y＝

的图象经过A、B两点，

∴，解得

2

∴二次函数的关系式为y＝﹣x+x﹣2；

当y＝0时，﹣x+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝4，则C（1，0）； （2）如图2，∵PD∥x轴，PE∥y轴， ∴∠PDE＝∠OAB，∠PED＝∠OBA． ∴△PDE∽△OAB． ∴

＝

＝＝2，

2

∴PD＝2PE．

设P（m，﹣m+m﹣2），则E（m，m﹣2）．

∴PD+PE＝3PE＝3×[﹣m+m﹣2﹣（m﹣2）]＝﹣m+6m＝﹣（m﹣2）+6；

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2

2

2

2