2019年江苏省扬州市中考数学一模试卷

在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）． ∴AF＝BD． ∵AF＝DC， ∴BD＝DC．

即：D是BC的中点．

（2）解：四边形ADCF是矩形； 证明：∵AF＝DC，AF∥DC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC即∠ADC＝90°． ∴平行四边形ADCF是矩形．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．

25．（10分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CAB＝2∠CBF． （1）试判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝6，BF＝8，求tan∠CBF．

【分析】（1）连接AE．通过AB⊥BF，点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线； （2）作辅助线CG（过点C作CG⊥BF于点G）构建平行线AB∥CG．由“平行线截线段成比例”知

＝

＝

＝，从而求得FG的值；然后根据图形中相关线段间的和

差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度；最后由锐角三角函数的定义来

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求tan∠CBF的值．

【解答】解：（1）BF为⊙O的切线． 证明：连接AE． ∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角是直角），

∴∠BAE+∠ABE＝90°（直角三角形的两个锐角互余）； 又∵AB＝AC，AE⊥BC，

∴AE平分∠BAC，即∠BAE＝∠CAE； ∵∠CAB＝2∠CBF， ∴∠BAE＝∠CBF，

∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，即AB⊥BF， ∵OB是半径， ∴BF为⊙O的切线；

（2）过点C作CG⊥BF于点G． 在Rt△ABF中，AB＝6，BF＝8， ∴AF＝10（勾股定理）； 又∵AC＝AB＝6 ∴CF＝4；

∵CG⊥BF，AB⊥BF， ∴CG∥AB， ∴

＝

＝，

＝

＝

， ＝．

，

＝，（平行线截线段成比例），

∴FG＝

由勾股定理得：CG＝∴BG＝BF﹣FG＝8﹣

在Rt△BCG中，tan∠CBF＝

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【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、平行线截线段成比例、直角所对的圆周角是直角等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

26．（10分）某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：

进价（元） 标价（元） LED灯泡 45 60 普通白炽灯泡 25 30 （1）该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？

（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

【分析】（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可；

（2）设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据一次函数的性质解决问题．

【解答】解：（1）设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个．根据题意，

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得解得

答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个．

（2）设该商场再次购进LED灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元．则购进普通白炽灯泡（120﹣a）个．根据题意得

W＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600． ∵10a+600≤[45a+25（120﹣a）]×30%，解得a≤75， ∵k＝10＞0，∴W随a的增大而增大，

∴a＝75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡（120﹣75）＝45个． 答：该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1 350元．

【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围解决最值问题；也考查了二元一次方程组． 27．（12分）有一边是另一边的

倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧

边，这两边的夹角叫做智慧角．

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为 45° ； （2）如图①，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形； （3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为是直角三角形时，求k的值．

．当△ABC

【分析】（1）利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论； （2）构造出两个直角三角形，即可得出结论；

（3）分两种情况：①先判断出△BCF∽△ABE，进而得出B（3+a，+

），C（1+a，

a），最后代入反比例函数解析式中即可得出结论；

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