高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的

3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i 故z对应的点(－1，－3)在第三象限． 答案：C

→→

2．在复平面内的平行四边形ABCD中，AC对应的复数是6＋8i，BD对应的复数是－4＋6i，→

则DA对应的复数是( ) A．2＋14i C．2－14i

B．1＋7i D．－1－7i

→→→→→→→

解析：依据向量的平行四边形法则可得DA＋DC＝DB，DC－DA＝AC，由AC对应的复数是6＋8i，→

BD对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得DA对应的复数是－1－7i.

答案：D

3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( ) A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4

B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4

→

解析：由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故

b＋4＝0，??

?a＋3＝0，??4－b≠0，

答案：A

解得a＝－3，b＝－4.

4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( ) A．等腰三角形 C．等边三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

→→

解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形． 答案：B

1

5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( ) A．0 C.2 2

B．1 1D. 2

解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离． 答案：C

6．已知复数z1＝(a－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

解析：z1－z2＝(a－a－2)＋(a－4＋a－2)i(a∈R)为纯虚数．

??a－a－2＝0，∴?2

?a＋a－6≠0.?

2

2

2

2

2

解得a＝－1.

答案：－1

7．若复数z满足z－1＝cos θ＋sin θi，则|z|的最大值为________． 解析：∵z－1＝cos θ＋sin θi， ∴z＝1＋cos θ＋sin θi. 则|z|＝ 答案：2

8．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC2＝－b＋ai，则实数a－b为________．

1＋cos θ2

＋sinθ＝2

2

1＋cos θ≤2.

a

a→→→

解析：因为OA＋OC＝OB，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，

2

2－b＝－2a，??所以?a＋a＝3，??2答案：－4

9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若z为实数，求m的值． (2)若z为纯虚数，求m的值．

解析：z＝(2m－3m－2)＋(m－3m＋2)i.

2

2

22

得a－b＝－4.

(1)若z为实数，则m－3m＋2＝0， 所以m＝1或2. (2)若z为纯虚数，

??2m－3m－2＝0，则?2

?m－3m＋2≠0，?

2

2

1解得m＝－.

2

1

故当m＝－时，z为纯虚数．

2

10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：

→

(1)向量AO对应的复数； →

(2)向量CA对应的复数； →

(3)向量OB对应的复数．

→→→

解析：(1)因为AO＝－OA，所以向量AO对应的复数为－3－2i.

→→→→

(2)因为CA＝OA－OC，所以向量CA对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. →→→→

(3)因为OB＝OA＋OC，所以向量OB对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

[B组 能力提升]

1．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( ) A．52＋5i C．2＋5i

解析：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i， ∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i 又∵f(z)＝|z|＋z－5

∴f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝52＋5i. 答案：A

2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( ) A．外心 C．重心

B．内心 D．垂心 B．5＋5i D．3＋11i

解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，

z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的

定义可知，点Z即为△ABC的外心．

3

答案：A

3．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|＋|z2|等于( ) A．10 C．100

B．25 D．200

2

2

→→

解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1、OM2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，

→→2→2→22222

∵|OM|＝4＋3＝5，∴|M1M2|＝10，∴|z1|＋|z2|＝|OM1|＋|OM2|＝|M1M2|＝100. 答案：C

→→

4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3→

＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是________． →→

解析：∵OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i →

∴BA对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i →→

又在平行四边形ABCD中，CD＝BA →

故CD对应的复数为4－2i. 答案：4－2i

5．已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝3，求|z1－z2|.

解析：设复数z1，z2， z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形， 在△OZ1Z中，由余弦定理得

|z1|＋|z2|－|z1＋z2|1

cos∠OZ1Z＝＝－，

2|z1||z2|2

所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此，△OZ1Z2是正三角形， 所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cos A＋sin Ai，且满足|z＋1|＝1. (1)求复数z； (2)求

2

2

2

b－cacos60°＋C的值．

解析：(1)∵z＝cos A＋sin Ai， ∴z＋1＝1＋cos A＋sin Ai. ∴|z＋1|＝

1＋cos A2

＋sinA＝2＋2cos A.

4

2

又∵|z＋1|＝1，∴2＋2cos A＝1. 1

∴cos A＝－.∴A＝120°.

2∴sin A＝

313.∴复数z＝－＋i. 222

(2)由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径)，

∴原式＝sin B－sin Csin A·cos60°＋C.

∵B＝180°－A－C＝60°－C， ∴原式＝sin60°－C－sin Csin 120°·cos60°＋C

3＝2cos C－3

2sin C3

2

·cos60°＋C＝cos C－3sin C1 2cos C－3

2sin C＝2.

5