第二十讲数的整除性

五年级奥数 第 讲 数的整除

知识要点：

① 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

② 能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③ 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④ 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ⑤ 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥ 能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

⑦ 能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因为0是任何整数的倍数，所以11｜0。因此13574是11的倍数。

例如：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍数。

例如：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

例题讲解：

例1、36、60、87、95、104、123、235、396、432、505、606、712、918这些数中。能被2整除的数有________________________________________；是3的倍数的有_________________________________；5的倍数有____________________________。

你还能找出哪些数是6的倍数吗？______________________________________。

例2、126、248、368、472、582、1234、5678、2468、2340、97532这些数中能被4整除的数有_______________________________；8的倍数有____________________。 你还能找出12的倍数吗？___________________________________。

例3、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.

例4、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.

例5、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除.

1

例6、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除.

例7、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的一个？

例8、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）

例9、一个整数a与108的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

例10、问24共有多少个约数？全部约数之和是多少？

例11、求240的约数的个数。全部约数之和是多少？

例12、求1080的约数的个数。

巩固练习：

1、 在数38、57、76、95、105、252、365、405、987中，

能被2整除的有：（ ） 能被5整除的有：（ ） 能被3整除的有：（ ）

2、 (1) 18共有多少个约数？

(2) 180共有多少个约数？

3、 在□内填上适当的数字，使七位数98765□能被4整除。

2

4、 五位数4□56□能被9整除。这个五位数可能是多少？（至少写出三个）

( )、（ ）、（ ）。

5、个位数是6，且能被3整除的三位数有多少个？

6、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪几个？

7、在65后面补上2个数字，组成一个四位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

8、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元.已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？

9、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除。

10、求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。

例1. 四位数3AA1能被9整除，求A。

例2. 五位数48A1B能同时被2，3，5整除，求这个五位数。

例3. 将1996加上一个整数，使和能被9与11整除，加的整数最小是多少？

例4. 求无重复数字，能被75整除的五位数3a6b5.

例5. 有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除，它们的前四位都是9876，而末位数字不

3

同，求着两个五位数的和。

例6. 求用1，2，3，4，5，6这六个数组成的六位数，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，

前四位数能被4整除，前五位数能被5整除，前六位数能被6整除。

例7. 由2000个1组成的数11??1能否被41整除？

例8. 在1994的右边补上三个数字，变成一个七位数M。若M能被3，4，5整除，求M的最大值。

例9. “任意一个三位数连这些两边得到的六位数一定同时被7，11，13整除”这句话对吗？为什么？

例10. 能否将1至9这九个数填在3×3的方格表中，使得每一行数的积和每一列数的积都是4的倍数？

习题训练

1. 五位数123A5能被55整除，求A。

2. 求能被15整除的最小四位数5a2b。

3. 三个数123，345，567，求第四个三位数，使它尽可能大且与前三个的平均数是一个整数。

4. 应当使A是哪个数，才能使得到的数能被7整除？66??6A55??5（其中50个6，50个5）

5. 四个数的和是408，这四个数分别能被2，3，5，7整除而商相同，求这四个数。

6. 在478后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被60整除，且使这个六位数尽可能小，求这个六

位数。

4

5