江西省鹰潭市2019届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=4ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣4ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．

【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣4ax，（x＞0）

令f′（x）=0，由题意可得lnx=4ax﹣1有两个解x1，x2 ?函数g（x）=lnx+1﹣4ax有且只有两个零点

?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0． g′（x）=﹣4a=

．

①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．

②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=∵x∈（0，

，

，+∞）时，g′（x）＜0，函

），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（

数g（x）单调递减． ∴x=

是函数g（x）的极大值点，则g（

）＞0，即ln

+1﹣1=﹣ln（4a）＞0，

∴ln（4a）＜0，∴0＜4a＜1，即0＜a＜．

故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜∴x1＜1＜

＜x2，又g（1）=1﹣4a＞0，

＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，

在区间（x2，+∞）上递减．

∴f（x1）＜f（1）=﹣2a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣2a＞﹣． 故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．

展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是 720 ．【考点】二项式定理的应用．

【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=10，再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【解答】解：由题意可得

最大，故n=10，故

=

，

它的展开式的通项公式为Tr+1=令

??

?

，

=720，

=0，求得r=2，故展开式中的常数项是

故答案为：720．

14．过平面区域

内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，

记∠APB=α，则当α最小时cosα= ．

【考点】简单线性规划；直线与圆的位置关系．

【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出

其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置，最后利用二倍角公式计算即可．

【解答】解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，

当P离圆O最远时α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2）， 记∠APO=β，则α=2β，则sinβ=则cosα=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×（计算得cosα=故答案为：

， ．

， ）2，

15．在平面直角坐标系xOy中，点A是椭圆，则线段OP在x轴上的投影的最大值为 【考点】椭圆的简单性质．

上动点，点P在直线OA上，且 ．

【分析】根据向量共线定理设设=λ，得λ=，设A（x，y），P（m，n），得

m=λx=，由此借助均值定理能求出线段OP在x轴上的投影的最大值．

【解答】解：∵点P在线段OA的延长线上， ∴设

=λ

（λ＞1），由

，得λ|

|2=6，可得λ=

，

设A（x，y），P（m，n）， 可得m=λx=

?x=

=

=

，

研究点P横坐标m的最大值，根据A点在椭圆上，设x∈（0，4）， 可得3x+

x≥2

=8

，当且仅当3x=

取等号，

∴m=≤=．

由此可得：当且仅当3x=故答案为：

．

，即A点横坐标x=时，P点横坐标的最大值为．

16．已知数列{an}的通项公式为an=﹣2n+p，数列{bn}的通项公式为

，若在数列{cn}中，

，设

（n∈N*，n≠10），则实数p的取值范围

是 （24，30） ．

【考点】数列递推式．

【分析】当n≤10时，an＞bn，可得cn=bn＜c10=a10；当n≥11时，an≤bn，∴cn=an＜c10=b10，解出即可得出．

【解答】解：当n≤10时，an＞bn，∴cn=bn＜c10=﹣20+p，∴﹣20+p＞b9=22，解得p＞24； 当n≥11时，an≤bn，∴cn=an＜c10=b10，∴﹣22+p＜23，解得p＜30． ∴p的取值范围是（24，30）． 故答案为：（24，30）．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知求△ABC的面积．

【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．

，a=2，

，

．

【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为≤2x+

≤2kπ+

sin（2x+），令 2kπ﹣

，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．

，可得 sin（2A+

）=，求得A=

，再利用正弦定理求得b

（Ⅱ）由已知

的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由 S=ab?sinC，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）=

sin2x+cos2x=

≤2x+

（sin2x+≤2kπ+

cos2x）=

=sin2xcossin（2x+

≤x≤kπ+]，k∈z．

+cos2xsin）． ，

+cos2x

令 2kπ﹣，k∈z，求得 kπ﹣

，kπ+

函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣（Ⅱ）由已知

，可得 sin（2A+）=，

＜2A+

＜

，

因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以因此，2A+由正弦定理由A=

，由B=

=

，解得A=

，得b=，可得 sinC=

=． ，…

，…

．

∴S=ab?sinC=

18．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，2016年春节期间，小张在自己的微信校友群，向在线的甲、乙、丙、丁四位校友随机发放红包，发放的规则为：每次发放1个，每个人抢到的概率相同．

（1）若小张随机发放了3个红包，求甲至少得到1个红包的概率；

1个红包中有10元，（2）小张在丁离线后随机发放了3个红包，其中2个红包中各有5元，

记乙所得红包的总钱数为X元，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出甲至少得到1个红包的概率．

（2）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）设“甲至少得1红包”为事件A，由题意得： P（A）=

××（）2+

×

×+

×（）3×（）0=

．

（2）由题意知X的可能取值为0，5，10，15，20，