江西省鹰潭市2019届高三数学一模试卷（理科） Word版含解析

6．设函数f（x）=

，则满足f（f（m））=3f（m）的实数m的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，0）∪{﹣} B．[0，1]C．[0，+∞）∪{﹣} D．[1，+∞）

【考点】分段函数的应用．

【分析】令t=f（m），即有f（t）=3t，当t＜1时，2t+1=3t，解得t=0，进而求得m的值；当t≥1时，f（t）=3t，讨论m的范围，结合指数函数的单调性可得m的范围． 【解答】解：令t=f（m），即有f（t）=3t， 当t＜1时，2t+1=3t∈（0，3），即为﹣＜t＜1， 设g（t）=2t+1﹣3t，令g（t）=0，可得t=0， 由f（m）=2m+1=0，可得m=﹣； 当t≥1时，f（t）=3t，

若2m+1≥1，且m＜1，解得0≤m＜1； 若3m≥1，且m≥1，解得m≥1， 可得m≥0．

综上可得，m的范围是[0，+∞）∪{﹣}．

故选C．

7．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 【考点】计数原理的应用．

【分析】把甲、乙两名员工看做一个整体，再把这3部分人分到3个不同的部门，根据据分步计数原理可得．

【解答】解：把甲、乙两名员工看做一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少一人，共有C42=6种方法，

再把这3部分人分到3个不同的部门，有A33=6种方法， 根据分步计数原理，不同分法的种数为6×6=36， 故选：C．

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π，若其图象向右平移单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）（ ） A．关于点（，0）对称 B．关于点（

，0）对称 C．关于直线x=

对称 D．关于直线x=

对称

【考点】正弦函数的图象．

【分析】根据条件求出函数的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可． 【解答】解：若f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期是π，

则T=

，解得ω=2，

即f（x）=sin（2x+φ）， 若其图象向右平移

个单位后得到y=sin[2（x﹣

）+φ]=sin（2x+φ﹣

），

若此时函数为奇函数， 则φ﹣=kπ，k∈Z， 解得φ=+kπ，k∈Z，

∵|φ|≤

，

∴当k=﹣1时，φ=﹣， 即f（x）=sin（2x﹣）， 由2x﹣=， 得x=

+

，

故当k=0时，函数的对称轴为x=，

故函数关于直线x=对称，

故选：C．

9．设等差数列{an}满足3a8=5a15，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（ A．

B．S24C．S25D．S26

【考点】等差数列的前n项和．

个

）

【分析】设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15，利用通项公式化为2a1+49d=0，由可得d＜0，Sn=na1+

d=（n﹣25）2﹣

，

d．利用二次函数的单调性即可得出．

=5 ∵3a8=5a15，∴3【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，（a1+7d）（a1+14d），化为2a1+49d=0，∵Sn=na1+

，∴d＜0，∴等差数列{an}单调递减，

d=

+

d=（n﹣25）2﹣

d．

∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值， 故选：C．

10．已知双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F1（﹣c，0），F2（c，0），

若双曲线上存在点P，使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率e的取值范围是

（ ） A． C． D． （1，） B．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得

，进而根据双曲线定义表示出|PF1|和|PF2|代入，可求得e的范围．

【解答】解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a， 由正弦定理得

，所以

=，

∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a， ∴

=?x=

＞a，

分子分母同时除以a，得：＞a，

∴＞1解得1＜e＜+1，

故答案为：D．

11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1=2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（ ）

A．87 B．88 C．89 D．90

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出

HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可． 【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示， 过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP， 则HM⊥PM，

∴HP2=HM2+MP2；

当MP最小时，HP2最小， 过P作PN⊥CC′，垂足为N， 设P（x，8，z），则 F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z），且0≤x≤8，0≤z≤8， ∵PN=PF，∴

=x，化简得4x﹣4=（z﹣6）2，

∴MP2=（x﹣8）2+（z﹣6）2=（x﹣8）2+4x﹣4=x2﹣12x+60=（x﹣6）2+24≥24， 当x=6时，MP2取得最小值，此时HP2=HM2+MP2=82+24=88为最小值． 故选：B．

12．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点x1，x2（A．f（x1）＜0，C．f（x1）＞0，

B．f（x1）＜0， D．f（x1）＞0，

）（ ）

【考点】利用导数研究函数的极值．