八年级上数学竞赛辅导 非常规题例解（教师版）

八年级上数学竞赛辅导讲义

非常规题例解

数学竞赛中，我们经常遇到与课本习题很大不同的一类题，它很难归人初中数学某一知识点，按照常规的解题方法很难获解．我们姑且称它为非常规题．它以思想深刻与方法 巧妙为其显著特征．解题时更需要敏锐的观察、判断和推理能力．现举例介绍一些解这类题的思考方法．

例1 国际象棋比赛中，共8名选手进行单循环比赛，每赛一局胜者得1分。负者得0分，平局各得0．5分．赛完后，发现各选手得分都不相同，当选手得分由大到小排列了名次后，第4名选手得分4．5分，第2名选手得分等于最后四名选手得分的总和．前三名选手各得几分?说明理由．

解：8名选手共赛了

8?7?28局，共28分．若前三名选手得分分别为a1,a2,a3，那么2根据题意应有a1?a2?a3?4.5?a2?28，即a1?2a2?a3?23.5 ① 注意到每局得分只有0、0.5、1三种情形，可见2a2是整数，由①式知a1、a3中一个是整数，另一个是小数．由于得分最多是7分，所以7?a1?a2?a3?4.5 又由①式知4a1?23.5,4a3?23.5，即a1?5.875,a3?5.875. 所以7?a1?6,6?a3?5.于是a3?5或5．5．

当a3?5时，a1只能是小数，所以a1?6.5,由①式得2a2?12，故a2?6. 当a3?5.5时，a1只能是整数，所以a1?7，

由①式得2a2?11，故a2?5.5，与a3相等了，不合题意． 综上所述，前三名得分分别是6．5分，6分，5分．

例2将1～8这八个数放在正方体的八个顶点上，使任一面上四个数中任意三数之和不小于10．求各面上四数之和中的最小值．

解 情形1：这个面上出现数1，设其余三个数为a，b，c．

因为a?b,b?c,c?a互不相同，且依题意加1之和不小于10，这样a?b,b?c,c?a这三个数至少不小于9，10，11．

, 故(a?b)?(b?C)?(c?a)?9?10?11即a?b?c?15.加上1之后，四个数之和≥16．

情形2：这个面上不出现l．显然依题意这个面上不能同时出现2，3，4， 因为2?3?4?9?10.

于是这些数至少有2，3，5，6，而2+3+5+6=l6． 故四数之和的最小值为l6．具体作图如图

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例3 在一个边长为l2的正方形中，有一组直线段，使得从这个正方形中的每一点到最近的直线段的距离至多是l．求证：这些线段的总长度超过70．

证明： 设有n条直线段，第i条直线段长为xi?0，以xi为中位线作一个高为2的长方形(如图)．当对每一条直线段都作出了这样的长方形之后，由题设可知，原正方形内的每一点都一定落在某一个这样的长方形内．这就是说所有长方形的全体覆盖了原来的正方形．因此，所有长方形的面积必大于或等于原正方形的面积，即

2(x1?x2???xn)?122?144, x1?x2???xn?72, x1?x2???xn?70.

即这些直线段的总长度超过70．

例4 对非负整数n，满足方程x?y?2x?n的非负整数解(x,y,z)的组数记为an. (1)求a3的值； (2)求a2001的值．

解 (1)当n=3时，有x?y?2z?3.由x?0,y?0,z?0，可得0?z??1. 当z?1时，x?y?1，于是(x,y)?(0,1),(1,0).

当z?0时，x?y?3，于是(x,y)?(0,3),(1.2),(2,1),(3,0). 综上可得a3?6.

. 由x?0,y?0,z?0，可得0?z?1000. (2)当n=2001时，有x?y?2z?2001当z?1000时，x?y?1，于是(x,y)?(0,1),(1,0)有2组；

当z = 999时，x?y?3，于是(x,y)?(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0)，有4组；

当z = 998时，x?y?5，于是(x,y)?(0,5), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,O),有6组. 当z=0时，(x，y)=(0,2001),(1,2000),…,(2001,0)，有2 002组．

综上，数组(x，y，z)共有 2 + 4 + 6 + … + 2002 = 2(1 + 2 + 3 + … + 1001)=1003002(组)． 所以a2001 = 1003002．

例5 数列 0，1，1，2，2，3，3，4，4，…，r，r，r + 1，r + 1，…令Tn表示数列前n项的和．

(1)归纳Tn的计算公式；

(2)证明Ts?t?Ts?t?st;，这里s，t是正整数，s>t． 解 (1)如果n是偶数，那么Tn=0 + 1 + 2 + 3 + …+(

nn- 1) + 1 + 2 + 3 + … + 22 2

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1nn1nnn2?(?1)??()(?1)??

4222222如果n是奇数，那么Tn?0?1?2???n?1n?1?1?2??? 221n?1n?1n2?1?2()()(?F1)??

2224?n2??4所以Tn??2?n?1??4(n是偶数),

(n是奇数). (2)注意到s + t与S - t的差是2t，所以s + t与S - t同为奇数或同为偶数． 在偶数情形，Ts?t?Ts?t(s?t)2(s?t)2???St;

44(s?t)2?1(s?t)2?1???st

44在奇数情形，Ts?t?Ts?t

例6 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往E二走一层楼梯感到3分不满意．现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层．问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)。

解 易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人．对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住S层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，s

S?3[1?2???(33?x)]?3[1?2???y]?[1?2???(.x?y?2)] ?3?(33?x)(34?x)3y(y?1)(x?y?2)(x?y?1)??

222?2x2?xy?102x?2y2?3y?1684 ?2x2?(y??102)x?2y?3y?1684

y?102?1?2?2?x?) ??(15y?180y?30684?8?y?102?15?2?2?x???(y?6)?316?316.

4?8?

3

22八年级上数学竞赛辅导讲义

又当x = 27，y = 6时，S = 316．

故当电梯停在第27层时，不满意总分最小，最小值为316分．

叫号的困惑

例7 n(n≥3)个学生坐成一圈，依一个指定方向顺序编为l，2，…，n号．老师按下述规则叫号：设某一次叫到第i号，则下一次被叫到的是第i号后面的第i个学生．试证：不论第一次叫到哪一号，至少有一个学生永远叫不到．

解：果真有一学生永远叫不到号吗?下面的分析可以消除我们的困惑．

先画示意图。设继第i号之后被叫到的是j号，从图上

显然可以看出：i??(2i?n)?2i

2i?n(2i?n).?因此，如果i = n。那么j = n，从而当第一次被叫到的是第n号时，以后每次叫到的都

是n.其余学生永远叫不到．如果第一次被叫到的不是第n号(即i≠n)，分两种情况考虑：

(1)若n是奇数，则2i?n,并且由i?n可得2i?n?n,于是j??n，即第n号学生永远叫不到；

(2)若n是偶数，则j必为偶数，由于n?3，于是至少有一个奇数号学生永远叫不到．

得分多少

例8 (美国第2届数学邀请赛题)玛丽告诉约翰她在美国中学数学竞赛中所得的分数超过80分．根据这个分数，约翰就能定出玛丽做对的题目的数目。如果玛丽的得分低一些，但仍超过80分，约翰就无法确定她做对几题了。玛丽的分数是多少?(美国中学数学竞赛试题由30道选择题组成，得分按公式S?30?4c?w计算，其中C为答对的题数，W为答错的题数，未回答的题目不扣分)．

分析由公式S?30?4C?W知答对一题同时答错4题则分数不增不减，设玛丽做了C?W题，则：S?30?4C?W?80 ①

题意即存在一个最小分数(大于80)，对于这个分数C是唯一确定的．

由于C?W(C?1)?(W?4)的分数一样，

故 C?W?28, ②

否则C就不唯一了．

又若W?4，则C?W与(C?1)?(W?4)的分数相等.

故W?3. ③

由①知，要使S最小，必须C最小同时w最大，从而由②和③式，得W=3，C=23． ?S?30?4?23?3?119.即玛丽得分为ll9分．

巧称硬币

例9 (第廿三届全苏数学奥林匹克试题)2000枚硬币中有2枚是假币：其中一枚比真币重，而另一枚比真币轻．怎样用不带砝码的天平称4次，以确定2枚假币重量与两枚真币重量之和，孰轻孰重?或两者等重?

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