一元二次方程讲义 - 绝对经典实用

一元二次方程

基础知识

1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如

ax2?bx?c?0（a?0）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax2，bx，c分别叫做

一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。

如：2x?4x?1?0满足一般形式ax2?bx?c?0（a?0），2x2，?4x，1分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。 注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 2. 一元二次方程求根方法 （1）直接开平方法

形如x2?m（m?0）的方程都可以用开平方的方法写成x??m，求出它的解，这种解法称为直

2接开平方法。 （2）配方法

通过配方将原方程转化为(x?n)2?m（m?0）的方程，再用直接开平方法求解。

配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。 配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。 （3）公式法

求根公式：方程ax2?bx?c?0（a?0）的求根公式

?b?b2?4ac（b2?4ac?0） x?2a步骤：

1）把方程整理为一般形式：ax2?bx?c?0（a?0），确定a、b、c。

22）计算式子b?4ac的值。

223）当b?4ac?0时，把a、b和b?4ac的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。

（4）因式分解法

把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。

3、一元二次方程根的判别式的定义

b2b2?4ac(x?)?22a4a2，运用配方法解一元二次方程过程中得到 显然只有当b?4ac?0时，才能直接开

初中数学 :..第 1 页 共 34 页..: bb2?4acx???2a4a2． 平方得：

2ax?bx?c?0(a?0)只有当系数a、b、c满足条件??b2?4ac?0时才有也就是说，一元二次方程

2实数根．这里b?4ac叫做一元二次方程根的判别式．

4、判别式与根的关系

2ax?bx?c?0(a?0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是在实数范围内，一元二次方程

2否有实数根）由??b?4ac确定．

2ax?bx?c?0(a?0)，其根的判别式为：??b2?4ac则 设一元二次方程为

?b?b2?4acx1,2?2ax?bx?c?0(a?0)??0?2a①方程有两个不相等的实数根．

bx1?x2??22a． ②??0?方程ax?bx?c?0(a?0)有两个相等的实数根

2ax?bx?c?0(a?0)没有实数根． ??0?③方程

若a，b，c为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

2若?为完全平方式，同时?b?b?4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．

说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，??0；有两个相等的实数根时，??0；没有实数根时，??0．

2⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式??b?4ac判定方程的根的情况（有两

个

2不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当??b?4ac?0时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点．

5、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

6、韦达定理

bcx1x2?a，a．如果ax?bx?c?0(a?0)的两根是x1，x2，则（隐含的条件：??0）

2 特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x?px?q?0的两个根，则

2x1?x2??x1?x2??p，x1?x2?q．

7、韦达定理的逆定理

2以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x?(x1?x2)x?x1x2?0．

初中数学 :..第 2 页 共 34 页..: 一般地，如果有两个数x1，x2满足两个根．

x1?x2??bcx1x2?2a，a，那么x1，x2必定是ax?bx?c?0(a?0)的

8、韦达定理与根的符号关系

在??b?4ac≥0的条件下，我们有如下结论：

cbb?0?≥0??0⑴当a时，方程的两根必一正一负．若a，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若a，则此方程的正根小于负根的绝对值．

cbb?0??0??0⑵当a时，方程的两根同正或同负．若a，则此方程的两根均为正根；若a，则此方程的两根均为负根．

更一般的结论是：

2xxax?bx?c?0(a?0)的两根（其中x1?x2）12若，是，且m为实数，当??0时，一般地：

① (x1?m)(x2?m)?0?x1?m，x2?m

② (x1?m)(x2?m)?0且(x1?m)?(x2?m)?0?x1?m，x2?m

③ (x1?m)(x2?m)?0且(x1?m)?(x2?m)?0?x1?m，x2?m

2ax?bx?c?0(a?0)有两异根、两正根、两负根的条件． m?0特殊地：当时，上述就转化为

2

其他有用结论：

⑴若有理系数一元二次方程有一根a?b，则必有一根a?b（a，b为有理数）．

2ax?bx?c?0(a?0)必有实数根． ac?0⑵若，则方程

2ax?bx?c?0(a?0)不一定有实数根． ac?0⑶若，方程2⑷若a?b?c?0，则ax?bx?c?0(a?0)必有一根x?1． 2ax?bx?c?0(a?0)必有一根x??1． a?b?c?0⑸若，则

9、韦达定理的应用

⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ⑶已知方程的两根，求作方程；

⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；

⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱

10、整数根问题

对于一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．

方程有整数根的条件：

2如果一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：

222⑴ ??b?4ac为完全平方数；

初中数学 :..第 3 页 共 34 页..: ⑵ ?b?b?4ac?2ak或?b?b?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

2211、一元二次方程的应用

1．求代数式的值；

2. 可化为一元二次方程的分式方程。

步骤：

1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。 2）解一元二次方程。 3）检验

3. 列方程解应用题

步骤：审、设、列、解、验、答

板块一 一元二次方程的定义

●夯实基础

例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 （1）2y2?y?7

（2）2?1?2x?x?0

（3）(x?5)(x?5)?0

（4）(5y?1)(2y?1)?y2?5

（5）(m?1)x?n?mx?0（x是未知数）

例2 已知关于x的方程(a?2)x2?ax?x2?1是一元二次方程，求a的取值范围．

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