江苏2019高考数学二轮专项练习：第13讲 圆锥曲线（含轨迹问题）

江苏2019高考数学二轮专项练习：第13讲 圆锥曲线(含轨迹

问题)

本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B级考点，其余基本上A级考点，但高考必考、在理解定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，特别是圆锥曲线中的离心率计算(含范围)、要能准确建模(方程或不等式)、

1.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法、

2.了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质、 3.了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质、

x2y210

1.假设椭圆5＋m＝1的离心率e＝5，那么m的值是________、

2.假设抛物线y＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为3，那么M到该抛物线焦点的距离为________、

22

3.双曲线2x－y＋6＝0上一个点P到一个焦点的距离为4，那么它到另一个焦点的距离为________、

x2y2

4.椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，假设椭圆上存在点PF1

P，使得PF2＝e，那么该椭圆离心率e的取值范围是________、

x2y2622

【例1】椭圆G：a＋b＝1(a>b>0)的离心率为3，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)、

(1)求椭圆G的方程； (2)求△PAB的面积、

【例2】直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，→→

且AF＝3FB.求过O、A、B三点的圆的方程、

x2

【例3】椭圆4＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点、

(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？假设过定点，请给出证

2

明，并求出该定点；假设只是定点，请说明理由、

【例4】(2017·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E、F，设E、F的纵坐标分别为y1、y2，求y1·y2的值(用t表示)、

x2y2

1.(2017·天津)双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，那么双曲线的方程为__________、

2.(2017·全国)F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C→→

于D点，且BF＝2FD，那么C的离心率为________、

x2y2?1?22?22

3.(2017·江西)假设椭圆a＋b＝1的焦点在x轴上，过点??1，2?作圆x＋y＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，那么椭圆方程是__________、 4.(2017·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为________、

x2y2

5.(2017·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆4＋2＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值； (2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d； (3)对任意k>0，求证：PA⊥PB.

2

6.(2017·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝2，一条准线的方程为x＝22. (1)求该椭圆的标准方程；

→→→

(2)设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积1

为－2，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？假设存在，求出F1，F2的坐标；假设不存在，说明理由、

(2017·苏锡常镇二模)(本小题总分值16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点、

(1)求证：A、C、T三点共线；

→→

(2)假如BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为

6＋2

3，求如今椭圆的方程和P点坐标、

2

22

xy?a?

?22

(1)证明：设椭圆方程为a＋b＝1(a＞b＞0)①，那么A(0，b)，B(0，－b)，T?c，0??.(1

分)

xyxy

2

AT：a＋b＝1②，BF：c＋－b＝1③，(3分)

c

b??2ac

?222

联立①②③解得：交点C?a＋c，a＋c2??，代入①得(4分)

2

3

?2ac?2?b?2?a2＋c2??a2＋c2?????4a2c2＋a2－c2

a

2

23

2

＋b

2

＝a＋c

222

＝1，(5分)

满足①式，那么C点在椭圆上，A、C、T三点共线、(6分) (2)解：过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF.

11?4cb?→→?，代入①得a2＋b2＝1，∴a2＝2c2，b2

，∵BF＝3FC，CE＝3b，EF＝3c，那么C?33??＝c2.(7分)

2

设P(x0，y0)，那么x0＋2y20＝2c.(8分)

214c4?4cc???如今C?3，3?，AC＝35c，S△ABC＝2·2c·3＝3c2，(9分)

?4?2?b?2

?3c??3?????

直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，

|x0＋2y0－2c|x0＋2y0－2c

P到直线AC的距离为d＝＝， 5511x0＋2y0－2c2x0＋2y0－2cS△APC＝2d·AC＝2··35c＝·c.(10分) 35只需求x0＋2y0的最大值、

22222

(解法1)∵(x0＋2y0)2＝x20＋4y0＋2·2x0y0≤x0＋4y0＋2(x0＋y0)(11分)

22＝3(x20＋2y0)＝6c，∴x0＋2y0≤6c.(12分)

6

当且仅当x0＝y0＝3c时，(x0＋2y0)max＝6c.(13分)

2

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x2＋2y20＝2c得

2222

(t－2y0)2＋2y20－2c＝0，即6y0－4ty0＋t－2c＝0.(11分)

Δ＝(－4t)－24(t－2c)≥0，得t≤6c.(12分) 6

当t＝6c，代入原方程解得：x0＝y0＝3c.(13分)

6－246＋26＋2

222

∴四边形的面积最大值为3c＋3c＝3c＝3，(14分) ∴c＝1，a＝2，b＝1，(15分)

x6??62?如今椭圆方程为2＋y＝1，P点坐标为?3，3??.(16分)

第13讲圆锥曲线(含轨迹问题)

x2y2

1.方程m－1＋2－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是________，假设该方程表示双曲线，那么m的取值范围是________、

2

2

2

2

222

?3??【答案】??1，2?(－∞，1)∪(2，＋∞)

x2y2

2.点P为椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，假如∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，那么椭圆的离心率为________、

6

【答案】3

3.抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为________、

【答案】x＝－1

x

222

4.设P点在圆x＋(y－2)＝1上移动，点Q在椭圆9＋y＝1上移动，那么|PQ|的最大值是________、

36

【答案】1＋2解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，因此只要求|CQ|的最大值、

设Q(x，y)，∴|CQ|＝x2＋y－2

2

2

＝91－y2＋y－2

2

＝－8y2－4y＋13，