2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题(有答案解析)

故答案为：【点睛】

3 4此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.

14．设a,b?R，则“log2?a?b??0”是“a?b”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要

【解析】log2?a?b??0一定能推出a?b，但是a?b不能推出a?b?1，所以不能得出log2?a?b??0，即可得解. 【详解】

“log2?a?b??0”的充要条件是a?b?1，a?b?1是a?b的充分不必要条件，则“log2?a?b??0”是“a?b”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 【点睛】

此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.

15．设函数f?x??x?3x?a，已知?t0??1,3?，使得当x??1,t0?时，f?x??0有

2解，则实数a的取值范围是______． 【答案】???,?

4??9??【解析】由题可得：f?x??0有解，只需f?x?min?0即可，根据题意求出最小值解不等式得解. 【详解】

依题意，只需?x0??1,3?，f?x0??0，即f?x?min?f?9?3??a??0， ?4?2?就一定?t0??1,3?，使得当x??1,t0?时，f?x??0有解， 故a?9． 4??9??故答案为：???,?

4【点睛】

此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.

16．设数列?an?满足a1?1，a2?180，an?2?an?n???1?n，则：

n（1）a1?a3?a5?...?a2019?______； （2）数列??a2n??中最小项对应的项数n为______． 2n??【答案】1010 9或10

【解析】（1）根据递推关系：当n为奇数时，an?2?an?????a1?1，即可求解； （2）当n为偶数时，a2k?a2k?2?4?k?1?结合a2n?a2??a4?a2??...??a2n?a2n?2?求出公式，即可得解. 【详解】

（1）当n为奇数时，an?2?an?????a1?1， 即a2k?1?a2k?1?1，a1?a3?a5?...?a2019?1010．

（2）由a2k?a2k?2?4?k?1?，知a2n?a2??a4?a2??...??a2n?a2n?2?

?180?4??1?2?...??n?1????180?2n?n?1?，

于是

a2n180?2n?n?1?90??n??1，由对勾函数的性质知，n?9或10． 2n2nn故答案为：（1）1010；（2）9或10. 【点睛】

此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.

三、解答题

17．?ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3a?sinC?c?sin2A. （1）求A； （2）若a?【答案】（1）

7，b?23，求?ABC的面积.

?53. ；（2）62【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cosA，从而得A．

（2）用余弦定理求得c，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】

（1）因为3a?sinC?c?sin2A，

由正弦定理3sinA?sinC?sinC?sin2A， 因为sin2A?2sinAcosA，sinAsinC?0， 所以cosA?3. 2因为0?A??， 所以A??6.

（2）因为a?7，b?23，A??6，

由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA得c2?6c?5?0， 解得c?1或c?5，均适合题. 当c?1时，?ABC的面积为S?13. bcsinA?22153. bcsinA?22当c?5时，?ABC的面积为S?【点睛】

本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．

18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：?60,65?，?65,70?，?70,75?，

?75,80?，?80,85?，?85,90?后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

（2）若从车速在?60,70?内的车辆中任意抽取2辆，求车速在?65,70?内的车辆至少有一辆的概率．

【答案】（1）77.5，77.5 （2）

14 15【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为x，使其左右两侧频率相等，列方程求解；

（2）求出车速在?60,65?有2辆，车速在65,70?有4辆，根据古典概型求解概率. 【详解】

（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5． 设中位数的估计值为x，

由5??0.01?0.02?0.04??0.35?0.5，得75?x?80．0.35?0.06?5?0.65?0.5，所以0.35?0.06??x?75??0.5，解得x?77.5， 即中位数的估计值为77.5．

（2）从题图中可知，车速在?60,65?内的车辆数为0.01?5?40?2， 车速在65,70?内的车辆数为0.02?5?40?4．

记车速在?60,65?内的两辆车为a,b，车速在65,70?内的四辆车为c,d,e,f， 则所有的基本事件有：?a,b?，?a,c?，?a,d?，?a,e?，?a,f?，?b,c?，?b,d?，?b,e?，

????b,f?，?c,d?，?c,e?，?c,f?，?d,e?，?d,f?，?e,f?，共15个，

其中车速在65,70?内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：?a,b?，

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