备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题39 百考不厌的不等式性质问题

专题39 百考不厌的不等式性质问题

考纲要求:

1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．4．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．5.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．6.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

基础知识回顾:

1．两个实数大小的比较原理

(1)差值比较原理：设a，b∈R，则a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0. (2)商值比较原理：设a，b∈R＋，则a＞b?＞1，a＝b?＝1，a＜b?＜1. 2．不等式的性质

性质(1)：a＞b?b＜a(对称性)． 性质(2)：a＞b，b＞c?a＞c(传递性)． 性质(3)：a＞b?a＋c＞b＋c. 性质(4)：a＞b，c＞0?ac＞bc；c＜0?ac＜bc. 性质(5)：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d(加法法则)． 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd(乘法法则)．

性质(7)：a＞b＞0，n∈N?a＞b(乘方法则)． 性质(8)：a＞b＞0，n∈N?

*

abababnn*

nna＞b(开方法则)．

11

性质(9)：ab＞0，a＞b?＜(倒数法则)．

ab3．不等式的倒数性质

1111ab (1)a>b，ab>0?<;(2)a<0b>0,0. ababcd 4.一元二次不等式的解法

设一元二次不等式为ax＋bx＋c＞0(a≠0)，其中Δ＝b－4ac，x1，x2是方程ax＋bx＋c＝0(a≠0) 的两个根且x1＜x2.

(1)当a＞0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x＜x1，或x＞x2}；

???b 若Δ＝0，则不等式的解集为?x?x∈R，且x≠－

2a???

2

2

2

??

?；若Δ＜0，则不等式的解集为R. ??

(2)当a＜0时，若Δ＞0，则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}； 若Δ＝0，则不等式的解集为?； 若Δ＜0，则不等式的解集为?. 5.一元二次不等式恒成立的条件

（1）不等式ax＋bx＋c>0对任意实数x恒成立??

2

?a＝b＝0，???c>0，

?a>0，?

或???Δ<0.

(2)不等式ax2

??a＝b＝0，??a<0，?＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或??c<0，?Δ<0.??

应用举例:

类型一、利用不等式性质比较两个数(式)的大小

【例1】【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三上学期期中考试】已知0?c?1， 1?a?b?0，下列不等式成立的是（ ）

A. ca?cb B.

【答案】D

ab C. bac?abc D. logac?logbc ?a?cb?c【例2】已知a＞0，b＞0，a≠b，试比较ab与(ab)【答案】见解析

aba?b2的大小．

【解析】(1)(x＋y)(x－y)－(x－y)(x＋y)＝(x－y)[(x＋y)－(x＋y)]＝－2xy(x－y)． ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.∴－2xy(x－y)＞0.∴(x＋y)(x－y)＞(x－y)(x＋y)． (2)∵a＞0，b＞0，∴ab＞0，(ab)ab2

2

2

2

2222222

a?b2＞0. ∴

aabb(ab)a?b2?aa?b2bb?a2baa??()2, baa

若a＞b＞0，则a－b＞0，＞1，()

bbaa

若b＞a＞0，则a－b＜0,0＜＜1，()

bb

aba?b

2

＞1，

a?b2

＞1.

a?b2 综上所述，可知ab＞(ab).

点评：(1)作差比较法的一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解，有理化等方法把差式变成积式或完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商比较法的一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．用作商比较法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 类型二、不等式的性质与充要条件相结合

【例3】【四川省成都市龙泉第二中学2018届高三10月月考】对于实数x,y?R，“xy?1”是

“0?x?1”的（ ） yA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【例4】【贵州省遵义市第四中学2016届高三上学期第四次月考】．ab?0是a?0的（ ）条件

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分又不必要 D. 充要

【答案】C

【解析】因为ab?0时，可以a?0,b?0 ， a?0且b?0 时， ab?0,所以ab?0是a?0的既不充分又不必要条件，故选C.

【方法点睛】本题通过充分条件与必要条件主要考查不等式的性质，属于容易题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试p?q,q?p，也可以用特例法进行判断，对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 类型三、不等式的性质与命题真假判断相结合

3

,)30?x0?【例5】【2017四川省成都市高三摸底】设命题p:?x0?(0??，

x1；命题201611q:?a,b?(0,??)，a?,b?中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）

baA．p?q B．(?p)?q C．p?(?q) D．(?p)?(?q)

【答案】B

111若a?,b?,?p假，

2016ba111111都小于2，则a??b??4，又根据基本不等式可得a??b??b??a??4,矛盾， ?q真,

bababa【解析】因为f?x??3x?x,在?0,???单调递增,所以f?x??f?0??1?根据真值表知(?p)?q为真,故选B.

【例6】【2017广西南宁高三模拟】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③

abdca－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

点评：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．

类型四、利用不等式的性质求范围

【例7】【2017湖南衡阳八中月考】已知存在实数a满足ab>a>ab，则实数b的取值范围是__________． 【答案】(－∞，－1)．

??b>1，22

【解析】∵ab>a>ab，∴a≠0，当a>0时，b>1>b，即?

?b<1，???b<1，

?

?b>1，?

2

22

解得b<－1；当a<0时，b<1

2

此式无解．综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．