第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试(人教A版必修2)

∴E，F，G，H四点共面． ∵GF≠EH，故EF与HG必相交． 设EF∩HG＝I.

∵I∈GH，GH?平面CC1D1D， ∴I∈平面CC1D1D. 同理可证I∈平面ABCD.

∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．

18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.

(1)试确定点M的位置，并说明理由； (2)求四棱锥P－ABCD的表面积．

解 (1)点M为PD的中点．理由如下：

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连接BD，设BD∩AC＝O，则点O为BD的中点，连接OM， ∵PB∥平面ACM，∴PB∥OM.

∴OM为△PBD的中位线，故点M为PD的中点． (2)∵PA⊥底面ABCD，又底面是边长为1的正方形， 11

∴S正方形ABCD＝1，S△PAB＝S△PAD＝2×1×1＝2， 1212

S△PBC＝2×1×2＝2，S△PCD＝2×1×2＝2. 故四棱锥P－ABCD的表面积为 122

S＝1＋2×2＋2＋2＝2＋2.

19．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分2

别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝3a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C； (2)求MN的长．

解 (1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

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APANA1M∴AB＝AC＝AB，

1∴MP∥AA1∥BB1， ∴面MPN∥面BB1C1C. MN?面MPN， ∴MN∥面BB1C1C.

2a

NPAN311(2)BC＝AC＝＝，NP＝3a，

2a32

同理MP＝3a. 又MP∥BB1，

∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN. 在Rt△MPN中MN＝

42125a＋a＝993a.

20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

11

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

解 (1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点， 所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC， 又PQ?平面ACD， 从而PQ∥平面ACD.

(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC， EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.

由(1)有PQ∥DC，又PQ＝1

2EB＝DC，

12

以