第二章 点、直线、平面之间的位置关系 单元测试(人教A版必修2)

垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是( ) A．①和② C．③和④ 答案 D

12．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有1

两个动点 E，F，且EF＝2，则下列结论错误的是( )

B．②和③ D．②和④

A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A—BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 解析 易证AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥BE. ∵EF在直线B1D1上，易知

B1D1∥面ABCD，∴EF∥面ABCD， 11122

VA－BEF＝3×2×2×1×2＝24. ∴A、B、C选项都正确，由排除法即选D. 答案 D

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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．

解析 如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．

答案 异面

14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．

答案 BD

15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：

(1)BD与CD的关系为________； (2)∠BAC＝________. 解析 (1)AB＝AC，AD⊥BC，

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∴BD⊥AD，CD⊥AD，

∴∠BDC为二面角的平面角，∠BDC＝90°， ∴BD⊥DC.

(2)设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为2a. 2∴BD＝CD＝2a. ∴折叠后BC＝?2?2?2?2

?a?＋?a?＝a. ?2??2?

∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°. 答案 (1)BD⊥CD (2)60°

16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.

以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号) 解析 如图所示：

∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．

②不正确(∠BFD′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．

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答案 ①③④

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．

证明 ∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，如图．

∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1. ∵BE∥C1H，且BE＝C1H，

∴四边形EBC1H是平行四边形． ∴EH∥BC1，∴GF∥EH.

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GF，