2015中考数学复习引发逆向思维的几种情形

www.czsx.com.cn

引发逆向思维的几种情形

一、由因式的分解引发逆向思维 例1 (5－3)2(8＋215)．

分析 大多数学生是从先算平方，再按多项式法则展开、合并这一常规解法，注意到8＋215这个式子的结构特征，这个式子能“分解因式”成(5＋3)2，故原式等于(5－3)2(5＋3)2，此时再逆用积的乘方公式即可．

解 ∵8＋215 ＝5＋3＋215 ＝

????52?32?215 ∴原式＝(5－3)2(5＋3)2 ＝[(5－3)(5＋3)]2 ＝22＝4． 类比练习：x??y??2x2y?x2?y

?

二、由逆运算引发逆向思维 例2 化简：（x－1）?1 x?1 1

www.czsx.com.cn

分析 大多数学生习惯于先将?1化简，再将整个式子化简，能否将根式外的x?1因式（x－1）“移”到根号内呢？若能，此时需要注意因式（x－1）值的正负性．这一想法的依据是公式a＝a2(a≥0)．

解

?11有意义的条件为??0，则x－1<0，即x－1为负数． x?1x?1∴原式=??1?x????1?? x?1??????12?1?x?x?1

12?1?x?1?x??1?x说明 化简的依据是公式a＝a2 (a≥0)，即公式a2＝a(a≥0)的逆用．应注意二次根式有意义的条件（被开放式为非负数），还要注意根式内“移”出的数应是非负数，“移”进的数也应是非负数．

三、由结果寻求条件引发逆向思维

例3 （2013年广安中考题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，对称轴是点线x＝1．下列结论：

①abc>0，②2a＋b＝0，③62—4ac0. 其中正确的是( ) (A)①③ (B)只有②

(C)②④ (D)③④

解析 对选项①，结合图象需确定系数a、b、c的正负性，由抛物线开口方向向上，得a>0，依据“左同右异”的规律，得b<0，由抛物线与y轴的正半轴相交，得c>0，故abc<0．

对选项②，是关于a，b的式子，故此想到对称轴x＝－

bb．由－＝1，得b＝－2a2a2a，即2a＋b＝0．对选项③，欲判断b2－4ac的正负性，需看抛物线和x轴的交点个数，

2

www.czsx.com.cn

由抛物线和x轴有两个交点，得b2－4ac>0．

对选项④，4a＋2b＋c是x＝2对应的函数值，根据抛物线的对称性，知抛物线和x轴的右交点的横坐标小于2，故4a＋2b＋c>0．

综上，选C．

四、反向变换引发逆向思维

例4（2013年衢州中考题）抛物线y＝x2＋bx＋c的图象 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函 数解析式为y＝(x－1)2－4，则b、c的值为( )

(A)b＝2，c＝－6

(B)b＝2，c＝0

(C)b＝－6，c＝8

(D)b＝－6，c＝2

解析 根据运动的相对性，知抛物线y＝(x－1)2－4先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得抛物线y＝x2＋bx＋c．

由于抛物线y＝（x－1）2－4的顶点坐标为（1，－4），所以抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为（－1，－1），所以y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，即b＝2，c＝0，故选B．

五、从问题的反面进行思考引发逆向思维

例5 若方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，x2－2(k＋1）x＋k2－2＝0，x2－（2k＋1）x＋(k－2)2＝0中至少有一个方程有实数根，求k的取值范围．

分析 由于“至少有一个方程有实数根”与“三个方程均无实数根”是对立排斥的，所以可以先从这个问题的反面，即三个方程均无实根的角度来考虑，即从△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范围，再从实数中排除这个k的取值范围．

解 ∵△1＝8k＋9<0， △2＝8k＋12<0， △3＝20k－15<0， 得k<－

3． 23时，三个方程中至少有一个方程有实数根． 23

因此，当k≥－

六、从“配角”变“主角”引发逆向思维

www.czsx.com.cn

例6 在关于x的方程ax2＋2（2a－1）x＋4a－7＝0中，a为正整数，当a为何值时，方程至少有一个整数根？

分析 因为题眼是“关于x”，所以大多数学生习惯于用求根公式将x用a的式子表示，接下来通过x为整数去求正整数a的值，这样的计算比较繁琐．此时，不妨尝试一下将系数a用未知数x的式子表达，这样能二次方程降为一次方程．

解 ∵ax2＋2（2a－1）x＋4a－7＝0

∴当a＝5，a＝1时，原方程至少有一个整数根．

说明 将“主角”和“配角”变换一下角色，起到了另辟蹊径的效果；同时变形的中用了“裂项”法，它本身就是一种逆向思维，变形的目的是为“整除”服务的．

4