2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用章末综合测评（含解析）新人教A版选修2-2

(一) 导数及其应用

章末综合测评

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2016·天津高二检测)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则lim

h→0

fx0＋h－fx0－h的值为( )

hA．f′(x0) C．－2f′(x0) 【解析】 lim

h→0

B．2f′(x0) D．0

fx0＋h－fx0－h h＝2lim

h→0

fx0＋h－fx0－h＝2f′(x0)，故选B.

2h【答案】 B

2．设曲线y＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( ) A．1 1

C．－

2

1

B. 2D．－1

2

【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1. 【答案】 A

3．下列各式正确的是( ) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x C．(sin x)′＝cos x 1－6－5

D．(x)′＝－x

5

【解析】 由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x)′＝－5x.

【答案】 C

4．函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4)

xx－5

－6

B．(0,3) D．(2，＋∞)

【解析】 f′(x)＝(x－2)e，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是

(2，＋∞)．

【答案】 D

132

5．(2016·东北三校联考)若函数f(x)＝x－f′(1)·x－x，则f′(1)的值为( )

3A．0 C．1

2

B．2 D．－1

2

【解析】 f′(x)＝x－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝1－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.

【答案】 A

6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )

2

图1

2

x2－??A.??0

x?

?

B.?2(x－1)dx

2

?0?0?0

C.?2|x－1|dx

D.?1(x－1)dx－?2(x－1)dx

2

2

2

?1

【解析】 S＝?1[－(x－1)]dx＋?2(x－1)dx

22

?0?1

＝?2|x－1|dx.

2

?0

【答案】 C

7．(2016·泰安高二检测)函数f(x)＝x＋3x＋3x－a的极值点的个数是( )

A．2 C．0

2

2

3

2

B．1 D．由a确定

2

【解析】 f′(x)＝3x＋6x＋3＝3(x＋2x＋1)＝3(x＋1)≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.

【答案】 C

8．若函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )

3

2

A．－5 C．10

2

B．7 D．－19

【解析】 ∵f(x)′＝－3x＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2. ∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5. 【答案】 A

9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( ) A．(0,1) C．(1，＋∞)

B．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】 不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0， 设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1， 由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，

∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0， ∴原不等式?g(x)>0?g(x)>g(1)． ∴x>1，故选C. 【答案】 C

10．已知函数f(x)＝x＋2x＋aln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )

A．a≥0 C．a≥0或a≤－4

B．a<－4 D．a>0或a<－4

2

【解析】 f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0,1)， ∵f(x)在(0,1)上单调，

∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立， ∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0,1)上恒成立， 即a≥－2x－2x或a≤－2x－2x在(0,1)上恒成立．

2

2

axaxax?1?212

设g(x)＝－2x－2x＝－2?x＋?＋，则g(x)在(0,1)上单调递减，

?2?2

∴g(x)max＝g(0)＝0，g(x)min＝g(1)＝－4. ∴a≥g(x)max＝0或a≤g(x)min＝－4. 【答案】 C

11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( ) A.5

B．25

C．35 D．2

【解析】 设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行． 因为y′＝

12·(2x－1)′＝， 2x－12x－1

2

所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1.

2x0－1所以点A的坐标为(1,0)．

所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为

d＝|2×1－0＋3|2＋－

2

＝2

55

＝5.

【答案】 A

12．已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则

A．3 C．2

2

ff的最小值为( )

5B. 23D. 2

【解析】 由题意，得f′(x)＝2ax＋b.

由对任意实数x，有f(x)≥0，知图象开口向上，所以a>0，且Δ＝b－4ac≤0，所以

2

ac≥.

4

因为f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0处函数递增． 由此知f(0)＝c>0.

b2

所以ffa＋b＋cb＋2ac＝≥≥

bbb＋2bb24＝2.

【答案】 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．? 2(3x＋sin x)dx＝__________.

??0

π

?2

π3x??【解析】 ? 2 (3x＋sin x)dx＝?－cos x????2???0?0

2

π

3?π?2π??＝?×??－cos?－(0－cos 0)

2??2?2?

3π

＝＋1.

8

2