湖南省长沙市2018-2019学年第二届启航杯初赛数学试题

数学试卷

满分:100 分 时量:70 分钟

一、 填空题：（每小题 4 分，本题满分 32 分） 1．关于 x 的一元二次方程 k x2＋4x＋1＝0 有两个实根，则 k 的取值范围是

.

2. 计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝

3. 在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边长．如果∠A＝105o，∠B＝45o， b＝22，那么 c＝

．

4．已知直线 l 经过(2，0)和(0，4)，把直线 l 沿 x 轴的反方向向左平移 2 个单位，得到直线 l′，则直线 l′的解析式为 ． 5．用 f(n)表示组成 n 的数字中不是零的所有数字乘积,例如:f(5)=5; f(10)=1；f(29)=18;

f(207)=14.则 f(1)+f(2)+f(3)+ ……+f(99)+f(100) =

．

A D E

F C

G

6．如图，D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、AC、BC 的中点，连结 FE 并延

长到点 G，使 GE＝FE．如果△ABC 的面积为 20cm2，那么四边形 ADEG

B 的面积为 cm2．

7．边数均为偶数的两正多边形的内角和为了 1800o．两个正多边形的边数分别为

8．在一次朋友家聚会上，每两个人都互相握了一次手，总共握了 55 次手，，则参加聚会的人数是 ．

二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）

9. 已知⊙O1 半径为 3cm，⊙O2 的半径为 7cm, 若⊙O1 和⊙O2 的公共点不超过 1 个, 则两圆的圆心距 不可能为………………………( ) A．0cm；

B．4cm； C．8cm； D．12cm

）

10. 在平面直角坐标系内，点 P（x－2，2x－1）在第二象限，则 x 的取值范围是 （

111（A）x＜2 （B）x＜（C）≤x≤2（D）＜x＜2

22211．下列命题：①任意两个等腰三角形一定相似；②任意两个等边三角形一定相似；③任意两个矩形

一定相似；④任意两个菱形一定相似；⑤任意两个正方形一定相似；⑥任意两个边数相等的正多边 形一定相似，其中真命题的个数是（） （A）2 （B）3（C）4（D）5

12．如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等，当 这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形做无滑动滚转，直至回到出发 位置时，该圆自转了（ ） （A）2 圈 （B）3 圈 （C）4 圈 （D）5 圈 13．方程 2x ? x 2 ?

A、0

2

的正实数根个数为（ ） xC、2

D、3

B、1

14．抛物线 y=ax2+2ax+a2+2 的一部分如图所示，那么该抛

物线在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐标是……………( )

1； B．（1， 0）；C．（2， 0）；D．（3， 0） A．（，0）2

15．下列四个图形中，每个小正方形都标上了颜色. 若要求一个正方体两个相对面上的颜色都一样， 那么不可能是这一个正方体的展开图的是-------（

）

16．如图(标注为第 20 题)，正方形 ABCD 的边长为 8，点 E、F 分别在 AB、

BC 上，AE＝3，CF＝1，P 是对角线 AC 上的个动点，则 PE＋PF 的最 小值是（ ） （A）89 （B）73（C）2（D） 45

三．解答题：（每题 12 分，满分 36 分）

17． 已知正实数 a、b、c 满足方程组

a＋b2＋2ac＝29 b＋c2＋2ab＝18 c＋a2＋2bc＝25 求 a＋b＋c 的值

18．阅读、理解、应用

0? ~36 0? 间的角的三角函数

在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图 1 所示的直角三角形 ABC， ∠A 是锐角，那么 sinA=

为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：

?A的对边?A的邻边?A的对边?A的邻边，cosA=，tanA=，cotA=

斜边斜边?A的邻边?A的对边设有一个角α ，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为 x 轴的正半轴 ox，建立直角坐标系 （图 2），在角α 的终边 OQ 上任取一点 P，它的横坐标是 x，纵坐标是 y ，终边 OQ 可以看作是将 射线 ox 绕点 O 逆时针旋转α °后所得到的。P 和原点 O（0，0）的距离为 r ?x2?y2（r 总是 正的），然后把角α 的三角函数规定为： sinα =

xyyx，cosα =，tanα =，cotα = (其中 x,y 分别是点 P 的横、纵坐标)

yrrx我们知道，图 1 的四个比值的大小与角 A 的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图 2 中四个比值的大小也仅与角α 的大小有关，四个比值的正、负取决于角α 的终边所在的象限，而与

点 P 在角α 的终边位置无关.

比较图 1 与图 2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种 定义回答下列问题，每题 3 分，共 12 分 1）如图 3，若 27 0<α <36 0，则角α 的三角函数值 sinα 、cosα 、tanα 、cotα ，

其中取正值的是

?

?

2）若角α 的终边与直线 y=2x 重合，则 sinα + cosα =

3）若角α 是钝角，其终边上一点 P（x，5），且 cosα =4）若0≤α ≤9 0，则 sinα +cosα 的取值范围是

?

?

2

x ，则 tanα = 4

19．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，

点 C 在 y 轴的正半轴上，线段 OB、OC 的长（OB

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EF∥AC

交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，△CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式， 并写出自变量 m 的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的 坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

第 19 题图