高中数学必修5全套教案 - 图文

四、作业《习案》作业十一。

2.2等差数列（二）

一、教学目标

1、掌握＂判断数列是否为等差数列＂常用的方法； 2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用． 3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用． 二、教学重点、难点

重点：等差数列的通项公式、性质及应用．

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题． 三、教学过程 （一）、复习

1．等差数列的定义． 2．等差数列的通项公式：

an?a1?(n?1)d (an?am?(n?m)d或 an=pn+q (p、q是常数))

3．有几种方法可以计算公差d:

① d=an－an?1 ② d=

a?aman?a1 ③ d=n

n?mn?1

4. {an}是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( )

A. 667 B. 668 C. 669 D. 670

5. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 二、新课

1．性质：在等差数列{an}中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq

特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap 例1. 在等差数列{an}中

(1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14;

(4) 若a1+a2+…+a5=30, a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15. 解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , ∴a15=2b﹣a; (2) ∵5+6=3+8=11,∴a5+a6=a3+a=m

(3) a8=a5+(8﹣3)d, 即15=6+3d, ∴d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+9×3=33

(4)?6?6?11?1, 7?7?12?2,?2a6?a1?a11, 2a7?a2?a12从而(a11?a12???a15)?(a1?a2???a5)?2(a6?a7???a10) ?a11?a12???a15?2(a6?a7???a10) ?(a1?a2???a5)?2?80?30?130.

2．判断数列是否为等差数列的常用方法： （1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)

例2. 已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列{an}成等差数列,并求其首项、公差、通项公式. 解: 当n=1时,a1=S1=3﹣2=1;

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n2﹣2n﹣ [3(n﹣1)2﹣2(n﹣1)]=6n﹣5; ∵n=1时a1满足an=6n﹣5,∴an=6n﹣5

首项a1=1,an﹣an﹣1=6(常数)

∴数列{an}成等差数列且公差为6.

（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列. （3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.

例3. 已知数列{an}的通项公式为an?pn?q,其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an?an?1（n＞1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an?1（n＞1），

求差得 an?an?1?(pn?q)?[p{n?1)?q]?pn?q?(pn?p?q]?p 它是一个与n无关的数.

所以{an}是等差数列。

课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？

这个数列的首项a1?p?q,公差d?p。由此我们可以知道对于通项公式是形如an?pn?q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.

如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。 [探究]

引导学生动手画图研究完成以下探究：

⑴在直角坐标系中，画出通项公式为an?3n?5的数列的图象。这个图象有什么特点？

⑵在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列an?pn?q与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。

分析：⑴n为正整数，当n取1，2，3，……时，对应的an可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点；

⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列an?pn?q的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列an?pn?q中的p的几何意义去探究。 三、课堂小结：

1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法． 四、课外作业

1.阅读教材第110～114页； 2.教材第39页练习第4、5题． 作业：《习案》作业十二

2.3等差数列的前n项和（一）

一、教学目标

1、等差数列前n项和公式．

2、等差数列前n项和公式及其获取思路；

3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题． 二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题． 三、教学过程 （一）、复习引入： 1．等差数列的定义： an－an?1=d ，（n≥2，n∈N） 2．等差数列的通项公式：

（1）an?a1?(n?1)d （2）an?am?(n?m)d （3） an=pn+q (p、q是常数) 3．几种计算公差d的方法：① d?an－an?1 ② d?an?a1 ③ d?an?am

n?1n?m?4．等差中项：A?a?b?a,b,成等差数列 25．等差数列的性质： m+n=p+q ?am?an?ap?aq (m, n, p, q ∈N )

6．数列的前n项和：数列?an?中，a1?a2?a3???an称为数列?an?的前n项和，记为Sn. “小故事”1、2、3

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．

二、讲解新课：

1．等差数列的前n项和公式1：Sn?n(a1?an) 2证明： Sn?a1?a2?a3???an?1?an ① Sn?an?an?1?an?2???a2?a1 ②

①+②：2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)???(an?an)

∵a1?an?a2?an?1?a3?an?2???

∴2Sn?n(a1?an) 由此得：Sn?n(a1?an)． 2 2． 等差数列的前n项和公式2：Sn?na1?n(n?1)d ． 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an． 但an?a1?(n?1)d 代入公式1即得： Sn?na1? 此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个． 公式二又可化成式子： Sn?n(n?1)d 2d2dn?(a1?)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 22三、例题讲解

例1、(1)已知等差数列{an}中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1) 172?8(4?a8)?a8?39 39?4?(8?1)d?d?5 2(2)设题中的等差数列为?an?，前n项为Sn 则 a1??10,d?(?6)?(?10)?4,Sn?54 由公式可得?10n?n(n?1)?4?54 . 解之得：n1?9,n2??3（舍去） 2∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例2、教材P43面的例1

解：

例3．求集合M??m|m?7n,n?N*且m?100?的元素个数，并求这些元素的和．

1002?14 77 ∴正整数n共有14个即M中共有14个元素

解：由7n?100得 n? 即：7，14，21，…，98 是a1?7为首项a14?98等差数列．

14?(7?98)?735 答：略．

2例4、等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?84,S20?460，求S28.

（学生练?学生板书?教师点评及规范）

练习：⑴在等差数列?an?中，已知a3?a99?200，求S101.

∴ Sn?⑵在等差数列?an?中，已知a15?a12?a9?a6?20，求S20.

例4．已知等差数列{an}前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n. 解：依题意，得??a1?a2?a3?a4?21,

?an?an?1?an?2?an?3?67,