2016-2017学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算高效测评新人教A版选修2-1资料

2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.3 空间

向量的数量积运算高效测评 新人教A版选修2-1

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a＝b，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c

解析： A中a·b＝0，则a⊥b，故A错误．B正确．C中a＝b，则|a|＝|b|，故C错误．D中a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0不一定b＝c.故D错误．

答案： B

2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( ) A.97 C.61

2

2

2

2

2

22B．97 D．61

解析： |2a－3b|＝4a＋9b－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a|×|b|cos 60°＝97－1

12×2×3×＝61.

2

所以|2a－3b|＝61. 答案： C

3．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( ) A．62 C．12

B．6 D．144

→→→→→2→2→2→2→→→→→→

解析： PC＝PA＋AB＋BC，|PC|＝|PA|＋|AB|＋|BC|＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝1→22

3×6＋2×6×6×＝4×6，∴|PC|＝12.

2

答案： C

4．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

→→→→→→→→→→→→→2→→

解析： AB＝AC＋CD＋DB，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋CD＋DB·CD＝0＋1＋0＝1，

2

1

→→

又|AB|＝2，|CD|＝1，

→→AB·CD11→→

∴cos〈AB，CD〉＝＝＝.

→→2×12|AB||CD|∴a与b所成的角是60°. 答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长是________．

→→→→

解析： AC1＝AB＋AD＋AA1.

→2→2→2→2→→→→→→

∴|AC1|＝|AB|＋|AD|＋|AA1|＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6.∴AC1的长为6.

答案：

6

6．a，b是两个非零向量，现给出以下命题：

π?π?②a·b＝0??π?①a·b>0?〈a，b〉∈?0，?；〈a，b〉＝；③a·b<0?〈a，b〉∈?，π?；

2?2??2?④|a·b|＝|a||b|?〈a，b〉＝π.

其中正确的命题有________．

解析： 利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作判断． ∵a，b为非零向量，∴|a|≠0，|b|≠0.

又∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉且0≤〈a，b〉≤π，

?π?于是a·b>0?cos〈a，b〉?〈a，b〉∈?0，?；

2??

a·b＝0?cos〈a，b〉＝0?〈a，b〉＝；

π2

??a·b<0?cos〈a，b〉<0?〈a，b〉∈?，π?. 2

?

?

因此，命题①②③均为真命题．

∵|a·b|＝|a||b|?|cos〈a，b〉|＝1?〈a，b〉＝0或π. ∴|a·b|＝|a||b|?〈a，b〉＝π不正确，即命题④为假命题． 答案： ①②③

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.

π

2

→→→→→→

证明： MN·AB＝(MB＋BC＋CN)·AB

?→→1→?→＝?MB＋BC＋CD?·AB

2??

?→→1→1→?→

＝?MB＋BC＋AD－AC?·AB

22??

1221212

＝a＋acos 120°＋acos 60°－acos 60°＝0， 222所以MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.

8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．

解析： ∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理AC·BA＝0. ∵AB与CD成60°角，

∴〈BA，CD〉＝60°或〈BA，CD〉＝120°. 又BD＝BA＋AC＋CD， ∴|BD|

＝|BA|＋|AC|＋|CD|＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD ＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉

∴当〈BA，CD〉＝60°时，|BD|＝4，此时B，D间的距离为2；

→→→→→→→→→→→→→→2

2

→2

→2

→→→→→→→→→→→2

→→→2

当〈BA，CD〉＝120°时，|BD|＝2，此时B，D间的距离为2.

9．(10分)如图所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.

3

(1)求AC1的长； (2)证明AC1⊥BD；

(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值．

→→→

解析： 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝a，|c|＝b，〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，

1

所以a·b＝0，a·c＝|a||c|cos 120°＝－ab，

2

b·c＝|b||c|·cos 120°＝－ab.

→→→→→→→→→→

(1)∵AC1＝AB＋BC＋CC1，又∵AB＝a，BC＝AD＝b，CC1＝AA1＝c，∴AC1＝a＋b＋c. →2→22222

又∵|AC1|＝AC1＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2a·b＋2a·c＋2b·c， →2?1??1?22222

∴|AC1|＝a＋a＋b＋2×0＋2×?－ab?＋2×?－ab?＝2a－2ab＋b.

?2??2?→22

∴AC1的长|AC1|＝2a－2ab＋b. →→→

(2)证明：∵BD＝AD－AB＝－a＋b，

→→22

∴AC1·BD＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a＋b－a·c＋b·c. →→22

∵a·c＝b·c，∴AC1·BD＝－a＋a＝0. →→

∴AC1⊥BD.∴AC1⊥BD.

→→→→→→→(3)∵AC＝AB＋BC，BD1＝BA＋AA1＋A1D1， →→

∴AC＝a＋b，BD1＝－a＋b＋c，

→→22

∴AC·BD1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a＋b＋a·c＋b·c， →|AC|＝→|BD1|＝→2＝a2＋2a·b＋b2， AC222→

BD12＝a＋b＋c－2a·b－2a·c＋2b·c.

12

1

又∵|a|＝|b|＝a，|c|＝b，a·b＝0，a·c＝b·c＝－ab，

2→→22

∴AC·BD1＝－a＋a－ab＝－ab.

→→2222

|AC|＝a＋0＋a＝2a，|BD1|＝2a＋b＋ab－ab

4

＝2a＋b.

→→AC·BD1→→

∵cos〈AC，BD1〉＝，

→→|AC||BD1|22

∴cos〈→AC，BD→

－ab1〉＝2a2＋b2·2a＝

2－2·b2a2＋b2 2

2

＝－b4a＋2b4a2＋2b2

. 又∵直线BD1与AC所成角为θ，°0<θ≤90°，

BDAC所成角的余弦值为b4a2＋2b2

∴直线1与4a2＋2b2.

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