重庆市南开中学2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析

（1）求{an}的通项公式； （2）bn=

，求数列{bn}的前10项和．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）通过记数列{an}的公差为d，利用求和公式可知S5=5（a1+2d）=10即a3=2，利用S6﹣S5可知a6=5，进而可知公差和首项，计算即得结论； （2）通过裂项可知bn=﹣

，并项相加即得结论．

解答： 解：（1）记数列{an}的公差为d， ∵S5=5a1+

d=5（a1+2d）=10，

∴a3=a1+2d=2， 又∵S6=15，

∴a6=S6﹣S5=15﹣10=5， ∴d=

=

=1，

∴a1=a3﹣2d=2﹣2=0，

∴数列{an}的通项an=a1+（n﹣1）d=n﹣1； （2）∵an=n﹣1， ∴bn=

=

=﹣

，

∴数列{bn}的前10项和为：1﹣+﹣+…+

﹣=1﹣=．

点评： 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题．

18．（1）求垂直于直线x+y﹣1=0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程： （2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．

考点： 点到直线的距离公式；直线的截距式方程． 专题： 直线与圆．

分析： （1）根据垂直关系求出直线的额斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标

轴围成的三角形面积为，求出截距，即得直线方程．

（2）由题意，所求直线经过点A（2，3）和B（0，﹣5）的中点或与点A（2，3）和B（0，﹣5）所在直线平行，分别求出直线方程即可． 解答： 解：∵直线方程x+y﹣1=0， ∴直线的斜率k=﹣1，

则垂直直线x+y﹣1=0的斜率k=1， 设设所求直线的方程为y=x+b，

∴直线在x轴上的截距为﹣b，在y轴上的截距为b， ∵与l垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为， ∴S=|b||﹣b|=，

即b=1

解得b=±1，

∴所求的直线方程为y=x+1或y=x﹣1．

（2）所求直线经过点（2，3）和（0，﹣5）的中点或与点（2，3）和（0，﹣5）所在直线平行．

①直线经过点A（2，3）和B（0，﹣5）的中点（1，﹣1）时，直线方程为x=1； ②当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行， ∵kAB=4，∴y﹣2=4（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0 所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2=0或x=1

点评： 本题考查直线方程的求法以及三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．

19．如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE的中点，AE⊥BE．

（1）求证：AE∥平面BFD； （2）求三棱锥E﹣BDC的体积．

2

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： （1）根据线面平行的判定定理即可证明AE∥平面BDF；

（2）取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=，即可求三棱锥E﹣BDC的体积．

解答： （1）证明：设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点， ∵F是EC中点．

∴在△ACE中，FG∥AE，

∵AE?平面BFD，FG?平面BFD， ∴AE∥平面BFD．

（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO=，

∴三棱锥E﹣BDC的体积==．

点评： 本题主要考查空间平行的位置关系的判断，考查三棱锥的体积，正确运用线面平行的判定定理是关键．

20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G为EF中点． （1）求证：AG⊥CD：

（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．

考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题： 证明题；空间位置关系与距离．

分析： （1）根据等腰三角形AG⊥EF．推证 AG⊥AD，AG⊥平面ABCD，线面的转化 AG⊥CD．

（2）根据中点推证GF∥MN，GF=MN．四边形GFNM是平行四边形． 由直线平面平行的判定定理推证GM∥平面ABF； 解答： 解：（1）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点， 所以 AG⊥EF． 又因为 EF∥AD， 所以 AG⊥AD．

因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF， 所以 AG⊥平面ABCD． 因为 CD?平面ABCD， 所以 AG⊥CD．

（2）存在点M在线段AC上，且 =，使得：GM∥平面ABF．

证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF， 因为

=，所以

=

=，

因为 BC=2EF，点G是EF的中点， 所以 BC=4GF，

又因为 EF∥AD，四边形ABCD为正方形，

所以 GF∥MN，GF=MN．

所以四边形GFNM是平行四边形． 所以 GM∥FN．

又因为GM?平面ABF，FN?平面ABF， 所以 GM∥平面ABF．

点评： 本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，掌握好定理，转化直线的为关系判断即可，属于中档题．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x+y=4和圆C2：（x﹣3）+y=1 （1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．

考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 直线与圆．

分析： （1）设直线l的方程为y=k（x﹣2），再利用圆C1的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；

2222

（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标． 解答： 解：（1）由于A（2，0）在圆C1上，所以直线l的斜率存在． 设直线l的方程为y=k（x﹣2），圆C1的圆心到l的距离为d，所以d=． 由点到直线l的距离公式得d=

=

，即k=1，解得k=1或﹣1，

2

所以直线l的方程为y=x﹣2或y=﹣x+2，即x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0； （2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），

∵⊙C1和的半径r1=2，⊙C2的半径为r1=1，圆心距O102=3， 直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，

∴⊙C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍， 即

=2×