2020届一轮复习人教版 离散型随机变量及其分布列 学案

A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)C458

＝C5＝18. 10

(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则

51C61C456C4

P(X＝0)＝5＝，P(X＝1)＝5＝，

C1042C10213223C6C410C6C45

P(X＝2)＝C5＝21，P(X＝3)＝C5＝21，

101014C6C41

P(X＝4)＝C5＝42.

10

因此X的分布列为

X P 0 142 1 521 2 1021 3 521 4 142 【迁移探究1】 用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列. 解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则

1423C6C41C6C45

P(X＝1)＝C5＝42，P(X＝2)＝C5＝21，

10103241C6C410C6C45

P(X＝3)＝C5＝21，P(X＝4)＝C5＝21，

10105

C61

P(X＝5)＝C5＝42. 10

因此X的分布列为

X P 1 142 2 521 3 1021 4 521 5 142 【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.

解 由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，

4132C4C61C4C65

则P(X＝3)＝C5＝42，P(X＝1)＝C5＝21，

10102314C4C610C4C65

P(X＝－1)＝C5＝21，P(X＝－3)＝C5＝21，

1010

5C61

P(X＝－5)＝C5＝42，

10

因此X的分布列为

X P 3 142 1 521 －1 1021 －3 521 －5 142 规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：

(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

【训练2】 (2018·天津卷节选)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列； ②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

解 (1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.

－k

CkC34·3

P(X＝k)＝C3(k＝0，1，2，3).

7321C31C3C412

则P(X＝0)＝C3＝35，P(X＝1)＝C3＝35，

773

C44112418

P(X＝3)＝C3＝35，则P(X＝2)＝1－35－35－35＝35，

7

所以，随机变量X的分布列为

X P 0 135 1 1235 2 1835 3 435 ②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥.由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)， 6

故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝7. 6

所以，事件A发生的概率为7. 考点三 求离散型随机变量的分布列

【例3】 (2019·豫南九校联考改编)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.

解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人， 送考2次的有100人，送考3次的有80人，

20×1＋100×2＋80×3∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为

200＝2.3.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，

“这两人送考次数相同”为事件D， 由题意知X的所有可能取值为0，1，2，

111C120C100C100C80100

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝C2＋C2＝199，

200200

11

C20C8016

P(X＝2)＝P(C)＝C2＝199，

20022C20＋C283100＋C80

P(X＝0)＝P(D)＝＝2C200199，

∴X的分布列为

X P 0 83199 1 100199 2 16199 规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率. 【训练3】 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.

解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)

1A132A3＝A2＝10.

5

(2)X的可能取值为200，300，400. A212P(X＝200)＝A2＝10，

5

112

A333＋C2C3A2

P(X＝300)＝＝

A310， 5

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) 133

＝1－10－10＝5.