2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2

解析：选C.因为函数f(x)＝mx为幂函数，所以m＝1.又幂函数f(x)＝x的图象经过11?11??1?点A?，?，所以α＝，所以f(x)＝x2，f′(x)＝，f′??＝1，所以f(x)的图象在2?42??4?2x11

点A处的切线方程为y－＝x－，即4x－4y＋1＝0.

24

3．过曲线y＝cos x上一点P?A．2x－3y－B.3x＋2y－C．2x＋3y－D.3x＋2y－

2π3

＋＝0 323π

－1＝0 3

2π3

＋＝0 323π

＋1＝0 3

1

αα?π，1?且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为( )

??32?

?π1?解析：选A.因为y＝cos x，所以y′＝－sin x，曲线在点P?，?处的切线斜率是y′|?32?xπ32

π＝－sin3＝－2，所以过点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为，所＝3312?π?2π3

以所求的直线方程为y－＝?x－?，即2x－3y－＋＝0.

3?2323?

4．设曲线y＝x的值为( )

1

A.

n＋1

(n∈N)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn*

nB.

1

n＋1

C.

nn＋1

D．1

解析：选B.由题意得xn＝nn＋1

，

123n－1n1

则x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.

234nn＋1n＋1

5．已知点P在曲线y＝2sincos上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取

22值范围是( )

A.?

xx?3π，π?

?

?4??π3π?B.?－，?

4??4

C.?

?π，3π?

?4??4

xx?π??3π?D.?0，?∪?，π?

4??4??

解析：选D.因为y＝2sincos＝sin x，所以y′＝cos x，设P(x0，y0)．由题意，知

22切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率k＝tan α＝cos x0，所以－1≤tan α≤1.

?π??3π?因为0≤α＜π，所以α∈?0，?∪?，π?，故选D.

4??4??

1

6．已知函数f(x)＝，且f′(a)－f(a)＝－2，则a＝________．

x11

解析：f(x)＝，所以f′(x)＝－2，

xxf′(a)－f(a)＝－2－＝－2.

aa即2a－a－1＝0， 1

解得a＝1或a＝－.

21

答案：1或－ 2

7．曲线y＝x在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为________． 解析：因为y′＝3x.所以切线的斜率为y′|x＝1＝3×1＝3，所以切线方程为y－1＝3(x1?2?8?2?－1)，与x轴的交点为?，0?，与直线x＝2的交点为(2，4)．所以S＝×?2－?×4＝. 2?3?3?3?

8

答案： 3

1x8．设曲线y＝e在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的

2

2

3

2

11

x坐标为________．

解析：设f(x)＝e，则f′(x)＝e， 1

所以f′(0)＝1.设g(x)＝(x>0)，

xxx1

则g′(x)＝－2.由题意可得g′(xP)＝－1，

x解得xP＝1. 所以P(1，1)． 答案：(1，1)

32

9．求与曲线y＝f(x)＝x在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程．

－2?2－21?解：因为y＝x，所以y′＝(x)′＝??′＝x3.所以f′(8)＝×83＝，即

333?x3?

3

2

3

11

2

1

曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直

3线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.

10．点P是曲线y＝e上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．

解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．

则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1， 即y′|x＝x0＝1. 因为y′＝(e)′＝e，

所以e0＝1，得x0＝0，代入y＝e， 得y0＝1，即P(0，1)．

利用点到直线的距离公式得距离为

2. 2

[B 能力提升]

11．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是( )

A．y＝sin x C．y＝e

xxxxxxxB．y＝ln x D．y＝x

3

解析：选A.设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1111

有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·

xx1x2

x＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝e＞0，显然k1·k2＝e1·e2＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x≥0，显然k1·k＝3x1·3x2＝－1无解，故该函数不具有T性质．故选A.

12．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________．

解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.

答案：－sin x

13．若曲线f(x)＝x在点(a，a)(a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3，

－2

－2

2

2

2

xx求log3a的值．

2

解：由题意，得f′(x)＝－2x，

所以曲线f(x)在点(a，a)处的切线方程为y－a＝－2a(x－a)， 3a－2

令x＝0，得y＝3a，令y＝0，得x＝.

213－2

所以×3a×a＝3，

223解得a＝.

4所以log3a＝2.

2

14．(选做题)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，

－2

－2

－3

－3

y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处切线的斜率分别为k1＝y′1|x＝x0＝cos x0，k2＝y′2|x＝x0＝－sin x0.

若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．