2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2

1．2.1 几个常用函数的导数

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

12

1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数．

x2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

1．几个常用函数的导数

函数 导数

f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ xf(x)＝x 2.基本初等函数的导数公式

函数 1f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x f′(x)＝－2 xf′(x)＝12x 1导数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x

f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos__x f′(x)＝－sin__x f′(x)＝axln__a f′(x)＝ex f′(x)＝ xln af′(x)＝ x11(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数． (2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y＝x的导数公

α式解决．

(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化． (4)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．

(5)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) π?π?(1)?sin?′＝cos.( )

3?3?

1?1?(2)因为(ln x)′＝，所以??′＝ln x．( )

x?x?

(3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

已知f(x)＝x，则f′(4)＝( ) 1

A．－

4C．－2

1B. 4D．2

111

解析：选B.因为f′(x)＝，所以f′(4)＝＝.

2x244 曲线y＝sin x在x＝0处的切线的倾斜角是( ) A.C.π

2π 6

B.D.π 3π 4

解析：选D.由题知，y′＝cos x，所以y′|x＝0＝cos 0＝1.设此切线的倾斜角为α，π

则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝.

4

已知f(x)＝2，则f′?

xx?1?＝________．

??ln 2?

x解析：因为f(x)＝2，所以f′(x)＝2ln 2， 所以f′?

?1?＝f′(loge)＝2log2eln 2＝eln 2.

?2

?ln 2?

答案：eln 2

探究点1 运用导数公式求导数

求下列函数的导数．

(1)y＝2 018；(2)y＝

3

x1

；

x2

(3)y＝3；(4)y＝log3x. 【解】 (1)因为y＝2 018， 所以y′＝(2 018)′＝0. (2)因为y＝

31

2＝x－，

3

x2

252－2－

所以y′＝－x3－1＝－x x3.

33(3)因为y＝3，所以y′＝3ln 3. (4)因为y＝log3x， 所以y′＝

1. xln 3

用公式求函数导数的方法

(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式3

的基本函数的模式，如y＝4可以写成y＝x，y＝x可以写成y＝x5等，这样就可以直接

1

－4

xx5

3

x使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．

??x，x<0

1.已知函数f(x)＝?，若

?ln x，0

3

f′(a)＝12，则实数a的值为

________．

3x，x<00

解析：f′(x)＝?1，若f′(a)＝12，则?1或?2，

?3a＝12，0

解得a＝或a＝－2.

121

答案：或－2

122．求下列函数的导数． (1)y＝lg 5；

2

?1?(2)y＝??； ?2?

xx2

(3)y＝；

x(4)y＝2cos－1.

2

解：(1)y′＝(lg 5)′＝0.

2

x??1?x?′?1?x1

(2)y′＝????＝??ln.

?2?2??2??

x22－

(3)因为y＝＝x2＝x2，

x31

3

所以y′＝(x2)′＝x2.

2(4)因为y＝2cos－1＝cos x，

2所以y′＝(cos x)′＝－sin x. 探究点2 利用导数研究曲线的切线方程

2

13

x?π1? (1)求过曲线y＝sin x上一点P?，?且与过这点的切线垂直的直线方程； ?62?

(2)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x的切线方程．

【解】 (1)因为y＝sin x，所以y′＝cos x， 曲线在点P?

2

2

?π，1?处的切线斜率是

??62?

y′|

π3＝cos ＝. 62x＝π

6

2， 3

所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为－

12?π?

故所求的直线方程为y－＝－?x－?，

6?23?即2x＋3y－

3π

－＝0. 23

2

(2)因为y′＝(x)′＝2x， 设切点为M(x0，y0)， 则y′|x＝x0＝2x0， 又因为直线PQ的斜率为k＝

4－1

＝1，而切线平行于直线PQ， 2＋1