数值分析习题集及答案

当

0???2?时，有?1?1???i?1,(i?1,2,?,n)，

因而?(B)?1，迭代法收敛。

ri(k?1)(k?1)(k)Xi?Xi?iia即为Gauss-Seidel迭代格式。 12. 证：(a) (b) 由

X(k?1)i?X(k)iri(k?1)?ii(k)(k)?a及Xi??i?X，可得

?ri(k?1)(k?1)i??(k)iri(k?1)?iia；

n?ji?1(k?1)jj?1j?1其中，

i?1j?1?bi??aijxj?1(k?1)jni?1(k?1)j??aijxj?i(k)jn(k)j??aijx??aijxi?1(k?1)jn??aijx(jk)j?in

??aij(x?x?j)??aij(x?x)??(?aij??jj?ij?1??aij?(jk))j?i。

(c) (d)

(m?1)?1(m)?1(m?1)?1(m)?1z?ABz?Abz??ABz?Ab2， 1212113. (a) 由已知，有，及(m?1)?12(m?1)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1， 112则

(m?1)(m?1)?12(m)(m?1)(AB)zzzz即由1到1的迭代矩阵为，所以由1到1的迭代矩阵为A?1B， ?1?(AB)?1。 则迭代方法收敛的充要条件为

(m?1)?12(m)?1?1?1z?(AB)z?ABAb?Ab1，所以迭代矩阵为12 (b) 由已知可推得1(A?1B)2，则迭代方法收敛的充要条件为?[(A?1B)2]?1。

由迭代矩阵可以看出，(b)迭代法的收敛速度是(a)的2倍。

1a1?1?a2?0,??a?114. 证：由于1?0，当2时，a1 |A|?(1?2a)(1?a)?0，所以A正定。

11?a?2收敛。 Jacobi迭代矩阵谱半径为?(B)?2|a|，所以只对215. 取排列阵P?I23，则

?A为可约矩阵。

?5??3PTAP??0??0?213??2?1?1?024??037??

16. 证： 迭代矩阵的特征方程为|?i(C)I?C|?0，

n若?i(C)?0,(i?1,2,?,n)，则|C|?0，所以C?0，即对任给向量X(0)，迭代n

(n)n(0)n?1X?CX?f?ff?Cg???cg?g，则 次后，，其中

X(n?1)?Cng?Cn?1g???cg?g?f

即最多迭代n次收敛于方程组的解f。

17. 用SOR方法解方程组AX?b，其中A对称正定，数组x用来存放解向量，用

|p0|?max|xi(k?1)?xi(k)|??1?i?n控制迭代终止，k表示迭代次数。

k=0, i=1 xi?0(i?1,?,n) k?k?1,p0?0 否 i<=n 是 p??(bi??aijxj??aijxj)/aii;j?1j?ii?1nxi?xi?p;i?i?1; |P|>|P0| P0=P; 是 |P0|>ε 否 输出x, k; ?118. 证：方程组的SOR迭代矩阵为L??(D??L)((1??)D??U)，

?1特征方程|(D??L)||(??1??)D???L??U|?0， 即|(??1??)D???L??U|?0，

记G?(??1??)D???L??U