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2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测:综合测试卷 Word版含解析

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2-1综合测试卷

一、选择题

1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若?λ<0,使m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,那么m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0;若m·n<0,那么两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件,故选A. 答案:A

2.下列判断正确的是( )

A.“若a2

1

B.函数f(x)=x2+9+2的最小值为2

x+9

C.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题

D.命题“?x>0,2019x+2019>0”的否定是:“?x0≤0,2019x0+2019≤0”

解析:对于A选项,“若a2

x2+9+

1x2+9

≥2

x2+9·1x2+9

=2,当且仅当

x2+9=

1x2+9

时,即当

x2+9=1时,等号成立,但x2+9≥3,B选项中的命题错误;对于C选项,命题“若x=

y,则sin x=sin y”是真命题,其逆否命题也为真命题,C选项中的命题正确;对于D选项,由全称命题的否定可知,命题“?x>0,2019x+2019>0”的否定是:“?x0>0,2019x0+2019≤0”,D选项中的命题错误.故选C.

答案:C

3.命题p:?x0∈R,x-2>0,命题q:?x∈R,x

C.綈p∨q D. 綈p∧綈q

解析:命题p:?x0∈R,x0-2>0为真命题 命题綈p:?x∈R,x-2≤0为假命题 命题q:?x∈R,x

π1

x+?为奇函数,则下列命4.设命题p:f(x)=在定义域上为减函数;命题q:g(x)=cos??2?x

题中真命题是( )

A.(綈p)∧q B. (綈p)∧(綈q)

C.p∧q D.p∧(綈q)

1

解析:f(x)=在定义域上不是减函数,故命题p是假命题,

x

π

x+?=-sin x是奇函数,故命题q是真命题, g(x)=cos??2?则(綈p)∧q为真命题,其余为假命题.

答案:A

x2y2

5.若双曲线2-2=1(a>0,b<0)的一个焦点F到其一条渐近线的距离为3a,则双曲线

ab

的离心率为( )

A.2 B.3 C.2 D.5

解析:双曲线的一个焦点为F(c,0),一条渐近线方程为bx-ay=0,

|bc|b2

22

所以焦点到渐近线的方程为=3a,整理得b=3a,即2=3

a22

b+a所以e=

b21+2=a

1+3=2

答案:C

6.已知向量a=(1,x),b=(-2,4),a∥(a-b),则x=( ) A.-2 B.-1 C.3 D. 1

解析:∵a-b=(3,x-4)由a∥(a-b)得,1×(x-4)-3x=0,解得x=-2,故选A. 答案:A

x2y2

7.双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|

42

=|PF|,则△PFO的面积为( )

3232A. B.

42

C.22 D.32

6

解析:由a=2,b=2,c=a2+b2=6,∵|PO|=|PF|,∴xP=,

2

b

又P在C的一条渐近线上,不妨设为在y=x上,

a

11332∴S△PFO=|OF|·|yP|=×6×=,故选A.

2224

答案:A

8.已知a=(2,3),b=(m,m-1),c=(m,3),若a∥b,则b·c=( ) A.-5 B.5 C.1 D.-1

解析:由于a∥b,故2(m-1)=3m,解得m=-2,于是b=(-2,-3),c=(-2,3), 所以b·c=4-9=-5.故选A. 答案:A

x2y2

9.若双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为30°,则其离心率的值为( )

ab

A.2 B.22 2332C. D.

32

x2y2bb

解析:由于双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,而倾斜角为30°,故=tan 30°

abaa

22

3b2c-a1c2423=,因此2=2=,即2=,则e=,故选C. 3aa3a33答案:C

y2

10.若双曲线C:x-2=1的离心率大于2,则该双曲线的虚轴长的取值范围是( )

b

A.(1,2) B.(23,+∞) C.(1,2) D.(22,+∞)

y22

解析:∵双曲线C:x-2=1,∴a2=1,可得a=1,c=1+b2,

b

2

∵双曲线

C:x2-

y2

=1的离心率大于2,∴b2

1+b2

>2,解之得b>3, 1

双曲线的虚轴长:2b>23,故选B. 答案:B

x2y2

11.已知O为坐标原点,点F1、F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,A为椭圆C

43

上的一点,且AF2⊥F1F2,AF1与y轴交于点B,则|OB|的值为( )

33A. B. 2455C. D. 23

解析:如下图所示:

由AF2⊥F1F2可知: AF1∥OB且|AF2|为椭圆的半通径

∵O为F1F2中点,∴OB为△AF1F2的中位线,

1

∴|OB|=|AF2|

2

b233

又|AF2|==,∴|OB|=,本题正确选项为B.

a24

答案:B

x2y2

12.如图,F1、F2分别是双曲线2-2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,

ab

|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为( )

A.3-1 B.3 C.2 D. 3+1

解析:连结AF1,∵F1F2是圆O的直径,∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2, 又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,

1

∴∠AF2F1=∠AF2B=30°,

2

13

因此,Rt△F1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|=|F1F2|=c,|F2A|=|F1F2|=3c.

22

根据双曲线的定义,得2a=|F2A|-|F1A|=(3-1)c,解得c=(3+1)a,

c

∴双曲线的离心率为e==3+1.

a故选D.

答案:D 二、填空题

13.已知直线l的一个方向向量d=(4,3,1),平面α的一个法向量n=(m,3,-5),且l∥α,则m=________.

解析:由题意可得d⊥n,则4m+9-5=0,解得m=-1. 答案:-1

→→→→

14.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则BA1=________.

→→→

解析:直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c →→→→→

BA1=BA+AA1=CA-CB+CC1=a-b+c 故答案为a-b+c. 答案:a-b+c

x2y2

15.设F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是该双曲线上一点,且|PF1||PF2|=21,

54

则△PF1F2的面积等于________.

x2y2

解析:由于-=1,因此a=5,c=3,故|F1F2|=2c=6,由于|PF1||PF2|=21

54

即|PF1|=2|PF2|,而|PF1|-|PF2|=2a=25,所以|PF1|=45,|PF2|=25,cos∠F1PF2=

22

PF21+PF2-F1F2431

=,所以sin∠F1PF2=,因此S△PF1F2=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=12.

2PF1·PF2552答案:12

→→

16.过点(3,0)的直线与抛物线y2=6x的两交点为A,B,与y轴的交点为C,若AB=3BC,则|AB|=________.

解析:设AB方程为y=k(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,-3k), →→

AB=(x2-x1,y2-y1),BC=(-x2,-3k-y2),

?→→

∵AB=3BC,∴x1=4x2,由?

?y=k?x-3??y2=6x?

,得k2x2-(6k2+6)x+9k2=0

6k2+632=9,x=, x1+x2=2,x1x2=9,∴4x22

k26k2+615

∴2=,k2=4

k2

95

?1+k2??x1-x2?2=. 2

95答案: 2∴|AB|=

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2-1综合测试卷 一、选择题 1.设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:若?λ<0,使m=λn,则两向量m,n反向,夹角是180°,那么m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0;若m·n<0,那么两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件,故选A. 答案:A 2.下列判断正确的是( ) A.“若a2

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