2020年高考数学《三维设计》高考总复习一轮资料Word学案第十二章 复数

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第十二章?复数、算法、推理与证明

全国卷5年考情图解 高考命题规律把握 1.复数主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算．运算是高考的热点,一般为选择题． 2.循环结构和条件结构是高考考查的热点,题型以选择题为主,属容易题． 3.高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考 查,单独命题的可能性不大,但其思想会渗透到多题之中. ?

?

第一节

数系的扩充与复数的引入

一、基础知识批注——理解深一点

1．复数的有关概念 (1)复数的概念:

形如a＋bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部．若b＝0,则a＋bi为实数；若b≠0,则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0,则a＋bi为纯虚数．

一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0.

(2)复数相等:a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R)． (3)共轭复数:a＋bi与c＋di共轭?a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)． (4)复数的模:

―→

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a＋bi|,即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2. 第 2 页 共 53 页

2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi

复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R)．

复数z＝a＋bi?a,b∈R?的对应点的坐标为?a,b?,而不是?a,bi?.

(2)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R),则

①加法:z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法:z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法:z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a＋bi?a＋bi??c－di?ac＋bdbc－ad④除法:＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

z2c＋di?c＋di??c－di?c2＋d2c2＋d2(2)复数加法的运算定律

设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律: ①交换律:z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律:(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二、常用结论汇总——规律多一点

1＋i1－i

(1)(1±i)2＝±2i,＝i,＝－i.

1－i1＋i(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．

(3)i4n＝1,i4n1＝i,i4n2＝－1,i4n3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n1＋i4n2＋i4n3＝0(n∈N*)．

＋

＋

＋

＋

＋

＋

―→

平面向量OZ.

z1?|z1|nn

(4)z·z＝|z|2＝|z|2,|z1·z2|＝|z1|·|z2|,?＝,|z|＝|z|. ?z2?|z2|

三、基础小题强化——功底牢一点

?一?判一判?对的打“√”，错的打“×”? (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ) (2)复数z＝a＋bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( )

(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量

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的模．( )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√

(二)选一选

1＋2i

1．(2018·全国卷Ⅱ)＝( )

1－2i43

A．－－i

5534C．－－i

55

43B．－＋i 5534D．－＋i

55

1＋2i?1＋2i?2－3＋4i34

解析:选D ＝＝＝－＋i.

5551－2i?1－2i??1＋2i?

2．设(1－i)x＝1＋yi,其中x,y是实数,则x＋yi在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

??x－1＝0，

解析:选D ∵(1－i)x＝1＋yi?x－xi＝1＋yi?(x－1)－(x＋y)i＝0???

?x＋y＝0???x＝1，

?∴x＋yi＝1－i,其在复平面内所对应的点为(1,－1),在第四象限,故选D. ?y＝－1，?

3．若复数z＝A．－2 C．1

a

＋1为纯虚数,则实数a＝( ) 1＋i

B．－1 D．2

a?1－i?aaa

＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数,

221＋i?1＋i??1－i?

解析:选A 因为复数z＝

aa

所以＋1＝0,且－≠0,解得a＝－2.故选A.

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(三)填一填

4．已知复数z＝|(3－i)i|＋i5(i为虚数单位),则复数z的共轭复数是________． 解析:由题意知z＝|3i＋1|＋i＝12＋?3?2＋i＝2＋i,则z＝2－i. 答案:2－i

5．设复数z1＝2－i,z2＝a＋2i(i是虚数单位,a∈R),若z1z2∈R,则a＝________. 解析:依题意,复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数,因此4－a＝0,a＝4. 答案:4