2010广东高考数学（文科B卷）试卷及详细解答

112S?BDE?FC??a2?2a?a3, 333 又∵EB?平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,

∴VF?BDE? ∴EF?6a,DE?5a，在Rt?FCD中，FD?5a, ∴S?FED?212a, 2 ∵VF?BDE?VB?FED即

12122421?a?h?a3，故h?a, 32321421a. 21即点B到平面FED的距离为h? 法二：向量法，此处略，请同学们动手完成。 19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

19．解：设应当为该儿童分别预订x个单位的午餐，y个单位的晚餐，所花的费用为z，则依题意得：

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m?12x?8y?64?3x?2y?16?0?6x?6y?42?x?y?7?0???? x,y满足条件?6x?10y?54即?3x?5y?27?0，

??x?Nx?N??y?Ny?N???? 目标函数为z?2.5x?4y，

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（图略），把z?2.5x?4y变形为y??斜率为? 由

5zx?，得到845z，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线。 845zy??x?图可知，当直线经

84过可行域上的点

M(即直线x?y?7?0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小，即z最小. 解方程组：??x?y?7?0, 得点M的坐标为x?4,y?3 所以，zmin?22

?3x?5y?27?0答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.

20.（本小题满分14分）

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2).

w_w w. k#s5_u.c o*m2010广东高考数学(文科)试卷第 - 5 -页 共 8 页

（1）求f(?1)，f(2.5)的值；

（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m20．解：（1）∵f(x)?kf(x?2)，且f(x)在区间[0,2]时f(x)?x(x?2)

∴f(?1)?kf(?1?2)?kf(1)?k?1?(1?2)??k

1f(x) k113∴f(2.5)?f(0.5?2)?f(0.5)??0.5?(0.5?2)??

kk4k由f(x)?kf(x?2)得f(x?2)?（2）若x?[0,2]，则x?2?[2,4]

111f(x)?x(x?2)?[(x?2)?2][(x?2)?4] kkk1 ∴当x?[2,4]时，f(x)?(x?2)(x?4)

k f(x?2)?若x?[?2,0)，则x?2?[0,2) ∴f(x?2)?(x?2)[(x?2)?2]?x(x?2) ∴f(x)?kf(x?2)?kx(x?2)

若x?[?4,?2)，则x?2?[?2,0) ∴f(x?2)?k(x?2)[(x?2)?2]?k(x?2)(x?4) ∴f(x)?kf(x?2)?k(x?2)(x?4) ∵(2,3]?[2,4],[?3,?2)?[?4,?2)

2?k2(x?2)(x?4),x?[?3,?2)?kx(x?2),x?[?2,0)?∴当x?[?3,3]时，f(x)?? x(x?2),x?[0,2]?1?(x?2)(x?4),x?(2,3]?k2∵k?0,∴当x?[?3,?2)时，f(x)?k(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数；

当x?[?2,0)时，f(x)?kx(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[?2,?1)时，f(x)为增函数，当x?[?1,0)时，f(x)为减函数；

当x?[0,2]时，f(x)?x(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[0,1)时，f(x)为减函数；当

x?[1,2]时，f(x)为增函数；

当x?(2,3]时，f(x)?1(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数。 k2010广东高考数学(文科)试卷第 - 6 -页 共 8 页

综上,函数f(x)的单调递增区间为[-3,-1],[1,3];递减区间为[-1,1].

（3）由（2）可知，当x?[?3,3]时，最大值和最小值必在x??3或?1,1,3处取得。（可画图分析）

∵f(?3)??k2，f(?1)??k，f(1)??1，f(3)??∴当?1?k?0时，ymax?f(3)??1 k1,ymin?f(1)??1; k当k??1时，ymax?f(?1)?f(3)?1,ymin?f(?3)?f(1)??1; 当k??1时，ymax?f(?1)??k,ymin?f(?3)??k2.

21.（本小题满分14分）

w_w w. k#s5_u.c o*m已知曲线Cn：y?nx2，点Pn(xn,yn)(xn?0,yn?0)是曲线Cn上的点（n=1,2,?）. （1）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

（2）若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn)；

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（2）中条件的点Pn的坐标， 证明：

?n?1s(m?1)xn?(k?1)yn?2ms?ks(s?1,2,…)

21．解：（1）y??2nx，设切线ln的斜率为k，则 k?y?|x?xn?2nxn

∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?yn?2nxn(x?xn) 又∵点Pn在曲线Cn上, ∴yn?nxn

∴曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程为：y?nxn?2nxn(x?xn)即2nxnx?y?nxn?0 令x?0得y??nxn，∴曲线Cn在y轴上的交点Qn的坐标为(0,?nxn) （2）原点O(0,0)到直线ln的距离与线段PnQn的长度之比为：

22222|?nxn|

24n2xn?1xn?(nxn?nxn)22222?nxn1?4n2xn2?11?4nxnnxn?1 4当且仅当

1112时，取等号。此时，yn?nxn? ?4nxn即xn?2n4nnxn2010广东高考数学(文科)试卷第 - 7 -页 共 8 页

故点Pn的坐标为(s11,) 2n4n（3）证法一：要证

?|n?1(m?1)xn?(k?1)yn|?|ms?ks|(s?1,2,?) 2s只要证

m?1?k?1?n?112n?s|m?k|(s?1,2,?)

只要证

?2n?1s1n1?s?m?1?k?1m?k1n?n?1(s?1,2,?)

m?1?k?1m?k?所

12n?n?n??n?n?1，又?以

?1

：

?2n?1s1n?1?(2?1)?(3?2)???(s?s?1)?s(s?1,2,?)?s?m?1?k?1(s?1,2,?)

m?k证法二：由上知，只需证

?2n?1s1n?s?sm?1?k?1m?k(s?1,2,?)，

又?m?1?k?1m?k?1，故只需证?n?112n?s，可用数学归纳法证明之（略）.

2010广东高考数学(文科)试卷第 - 8 -页 共 8 页