第四章 环与域

§4.3 除环和域

一、主要内容

1．除环和域的定义及例子．四元数除环．

2．有限环若有非零元素不是零因子，则必有单位元，且每个非零又非零因子的元素都是可逆元．

3．有单位元环的乘群(单位群)的定义和例子．

有单位元的环的全体可逆元作成的群，称为该环的乘群或单位群．

除环或域的乘群为其全体非零元作成的群；整数环Z的乘群为 Z﹡＝｛１，－１｝；

数域上n阶全阵环的乘群为全体n阶可逆方阵对乘法作成的群；Gaus s整环的乘群为

U(Z[i]) ＝｛１，－１，i－i，｝． 二、释疑解难

1．阶大于l的有限环可分为两类： ”

1) 一类是有零因子的有限环．例如，有限集M(M＞1)上的幂集环P(M)，不仅是个有零因子的有限环，而且除单位元M外其余每个非零元素都是零因子；后面§５所讲的以合数n为模的剩余类环Zn也是一个有零因子的有限环．

2) 另一类就是无零因子的有限环．实际上根据本节推论和魏得邦定理可知，这种有限环就是有限域．例如，以素数p为模的剩余类环Zp以及教材第六章所介绍的伽罗瓦域都属于这种倩形．

这就是说，阶大子1的有限环或者有零因子或者无零因子，从而为域．

与群定义中要求两个方程ax＝b与ya＝b都有解不同,这里仅要求方程ax＝b或y a＝b (?0≠a,b∈R)中有一个在R中有解即可．教材中利用方程ax＝b有解得到R的全体非零元有右单位元且每个非零元素都有右逆元，从而得到R是除环．

如果利用方程ya＝b在R中有解，则将得到R的全体非零元有左单位元且每个非零元都有左逆元，从而也得到只是除环．

3．关于有单位元环的单位群．

设R是阶大于l的有单位元的环．则显然

R是除环?R的单位群是R－｛０｝；

R是域? R－｛０｝是交换群．

显然，除环或域有“最大’’的单位群．又显然幂集环P(M)的单位群只有单位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的单位群．

三、习题4．3解答 1．证略． 2．证略．

3．证明：域和其子域有相同的单位元．

F与F1有相同的单位元．(也可由F﹡与F?1有相同单位元直接得出)

4．

5．

6．

即

§4 环的同态与同构

一、主要内容

1．环的同态映射和同构映射的定义和例子 2．环同态映射的简单性质． 设?是环R到环豆R的同态满射，则

1) ?(0)是R的零元，?(－a)＝－?(a) (?a∈R) ； 2)当R是交换环时，R也是交换环；

3)当R有单位元时，R也有；并且R的单位元的象是R的单位元．

3．在环同态映射下，是否有零因子不会传递．即若环R~R，则当R有零因子时，R可能没有，当R无零因子时，R却可能有．

二、释疑解难

1．在§1已经强调过，对于环的两个代数运算一定要区分前后顺序．同样，对于环的同态映射，也要注意其保持运算必须是：加法对加法，乘法对乘法．即

?(a＋b)＝?(a)＋?(b)， ?(ab)＝?(a)?(b)．

第一式中等号左边的加号“＋”是环R的加法，而等号右边的加号“＋”是环R的代数运算．二者虽然都用同一符号，但在实际例子中这两个代数运算却可能点很大差异，根本不是一回事．

对上述第二个式子中等号两端的乘法完全类似，不再赘述．

2．由于零因子在环同态映射下不具有传递性，因此，若环R~R，则当R为整环时，R不一定是整环；又当R不是整环时，R却可能是整环．教材中的例1和例2说明了这一点．

3．关于环的挖补定理，

三、习题4．4解答 1. 证 略． 2.

3.

4.

5.