第四章 环与域

6．

7．

8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．

§4．2 环的零因子和特征

一、主要内容

１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．

2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．

这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．

3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．

二、释疑解难

１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．

但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素???1?00??就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例0??如，设置为由一切方阵

?x??0?y??0??(?x,y?Q)

对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知??零因子．

2.关于零因子的定义．

?1?00??是R的一个右零因子，但它却不是R的左?0?关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因

子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．

3．关于整环的定义．

整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l且无零因子的交换环，称为整环．

定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．

以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．

本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。本章§8定理1：设P是交换环R的一个理想．则

P是R的素理想?R／P是整环．

这样看起来本定理表述显得干净利索．但若整环按定义2(或定义3、4)要求，那么以上定理表述就需变动．究竟要怎样变动，作为练习请读者自己给出． 。’

三、习题4．2解答

１．

２．

３．

４．

５．

６．

７．设R是一个无零因子的环．证明：若R偶数，则R的特征必为2．

８．证明：P—环无非零幂零元．