第九章 多元函数微分法及其应（题目）

第九章 多元函数微分法及其应用

一、填空题

1．二元函数z?ln4x?y222?arcsin1x?y22的定义域是 。

2．设f(xy,xy)?(x?y),则f(x,y)? 。

3．lim(x2?y2)xx?0y?02?y2? 。

4．lim?y?x?xx?y22x?0y?0= 。

5．设z?f(x,v),v?v(x,y)其中f,v具有二阶连续偏导数.则

?z?y22? 。

6．曲面xyz?a3(a?0)的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V= 。 7．函数u?sinxsinysinz满足x?y?z?二、计算题

1．设f(x,y)?x?(y?1)arcsin2?2(x?0,y?0,z?0)的条件极值是 。

xy,求fx(x,1),fx(1,1).

dzdt2．设z?u2v?sint,其中u?et,v?cost,求

2222.

223．设z?u?4uv?w,其中u?x?y,v?xy,w?x?y,求

?z?z ,?x?y?z?x?y24． 设z?xf(xy,),(f具有二阶连续偏导数)，求3y?z?yx,?z?y22,.

5．设函数z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?xf??z?x?y2?z?z?y?,确定,且可微,求. f??x?y?x?6．设z?3xyz?a,求

33.

7．求螺旋线x=acost,y=asint,z=bt在任一点t0处的切线与法平面方程,并证明曲线上任一

点处的切线与Oz轴相交成定角. ?x2?z2?10,8．求曲线?2在点M(1,1,3)处的切线和法平面方程. 2y?z?10? 1

9．求曲面z?y?lnxz在点M(1,1,1)处的切平面和法线方程.

10．求曲面上x2?y2?z2?xy?3?0上同时垂直于平面?1:x?y?2z?2?0与平

面?2:x?y?1?0的切平面方程.

11．求函数f(x,y)?(6x?x)(4y?y)的极值.

12．求函数u?xy2z3在条件x?y?z?a(a,x,y,z?R?)下的条件极值.

13．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短

距离.

14．设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数，其中

f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

?f?x(1,1)22dzdx.

?f?y(1,1)15．设函数z?f(x,y)在点（1,1）处可微,且f(1,1)?1,?2,?3,

?(x)?f(x,f(x,x)).求

ddx?(x)x?13.

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