（整理）常微分方程练习题53149

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?x??y?5z?五、求解微分方程组?y???5x?3y的通解.

?z??x?3z??dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

dy???3x3?y3??dt七、证明题.

1．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程

x???dy?y?f(x)的任意解y?y(x)均dx有limy(x)?0.

x???2. 证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．

习题四 一、单项选择题

21. 微分方程y????xy???x的通解中含有任意常数的个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 当n?1时，微分方程y??p(x)y?q(x)yn最确切的名称为（ ）.

A. 一阶线性齐次微分方程 B. 伯努利方程 C. 一阶线性非齐次微分方程 D. 里卡蒂方程

3. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在整个数轴上线性无关的一组函数为（ ）.

A. x,C. ex?2x?1,,x?1 B. 0,x,x2,x3

ex?2 D. e2?x,*ex?2

2x5．用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

二、填空题.

1. 方程tanydx?cotxdy?0所有常数解是 ． 精品文档

*2x*22x*2x*2x精品文档

2．若y?y1(x),y?y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

3．方程y??1?y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

4．已知cost和sint是二阶齐次线性方程x???a(t)x??b(t)x?0的两个解，则a(t)? ． 5．如果常系数线性方程组x??Ax的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t???时收敛于 ．

三、求下列一阶微分方程的通解 1.

dyyy??tan dxxxdyyx22. ??dx2x2y 3. (y?e?x?ey)dx?(1?ey)dy?0

四、求下列高阶方程的通解 1. tx???3tx??5x?0 2. x''?x?tant

2?dx?4x?5y??dt五、求解常微分方程组?.

?dy?4y?5x??dt?x???y?ax3六、判定系统 ?（这里的a?3??y?x?ayx???）的零解稳定性.

七、设y(x)在[0,??)上连续可微，且有lim[y?(x)?y(x)]?0，试证：limy(x)?0.

x???

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