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精品文档 习题一

一、单项选择题.

1. 微分方程y???y??2cosy??y的阶数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 克莱罗方程的一般形式是（ ）.

A. y?xy???(y?) B. x?xy???(y?) C. y?xy???(x) D. x?xy??(y?) 3. 下列方程中为全微分方程的是（ ）. A.

35xdy?ydxxdy?ydx?0 B. ?0

x?yx2?y222C. xdy?ydx?0 D. xdy?ydx?0

4. 用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）. A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

5．Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件. A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题

1． 方程y??xtany的所有常数解是 . *2x*22x*2x*2x2x*x3x2??C满足的一阶方程是 . 2．函数y?52x2xx?xx?x2x3．设y1?xe?e,y2?xe?e,y3?xe?e?e为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此

方程为 .

4．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 2?dx?x??dt5．系统?的零解的是 稳定的.

?dy?y??dt三、求下列一阶微分方程的通解.

dyy??4x2y2?1?0 dxxdy?y?y2(cosx?sinx) 2. dx1. 精品文档

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3. (x?2y)dx?xdy?0. 四、求下列高阶方程的通解. 1. y???y?1

cosx2. 试用观察法求方程 (1?lnx)y???11y??2y?0的通解． xx?x??y?5z?五、求解微分方程组?y???5x?3y的通解.

?z??x?3z??dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

dy???3x3?y3??dt七、证明题

1．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程

x???dy?y?f(x)的任意解y?y(x)均dx有limy(x)?0.

x???2. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.

dX?AX?Cemt，有一解形如：?(t)?Pemt.dt习题二

一、单项选择题 1. 微分方程

dy?y2?x2的阶数是（ ）. dxA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 克莱罗方程的一般形式是（ ）.

A. y?xy???(y?) B. x?xy???(y?) C. y?xy???(x) D. x?xy??(y?)

3. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. n阶齐次线性常微分方程的任意n?1个解必定（ ）.

A. 可组成方程的一个基本解组 B. 线性相关 C. 朗斯基行列式不为0 D. 线性无关

5．用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

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*2x*22x*2x*2xx*精品文档 二、填空题.

1．当n? 时，微分方程y??P(x)y?Q(x)y为伯努利方程．

2．在方程x???p(t)x??q(t)x?0中，当系数满足 条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.

3．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

4．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

5．设x0?I，Y1(x),?,Yn(x)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的 条件是向量组Y1(x0),?,Yn(x0)线性相关. 三、求下列一阶微分方程的通解.

1. xy??y?(x?y)ln2.

2nx?y xdy?y?y2(cosx?sinx) dx?x3. (y?e?ey)dx?(1?ey)dy?0

四、求下列高阶方程的通解. 1. y??xy??y?0 2. y???y?21 cosx?dx?5y?4x??dt五、求解微分方程组?的通解.

dy??4y?5x??dt?dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

?dy??3x3?y3??dt七、证明题. 1．设分因子.

f(x,y)及

?f连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积?yd2ydy?p(x)?q(x)y?0中，p(x)在区间I上连续且恒不为零，2. 设在方程 试证它的任意两个线

dxdx2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．

习题三

一、单项选择题.

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1. 微分方程y????x?xsiny的阶数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 下列方程中为全微分方程的是（ ）.

A.

xdy?ydxxdy?ydx?0 B. ?0

x?yx2?y222C. xdy?ydx?0 D. xdy?ydx?0 3. 微分方程y??P(x)y?Q(x)yn，当n?1时为（ ）.

A. 一阶线性齐次微分方程 B. 一阶线性非齐次微分方程 C. 伯努利方程 D. 里卡蒂方程

4. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．用待定系数法求方程y???2y??y?(x?2x)e的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

二、填空题.

1．函数x?c1cost?c2sint(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是 . 2．方程tanydx?cotxdy?0所有常数解是 ．

x2xx?xx?x2x 3．设y1?xe?e,y2?xe?e,y3?xe?e?e为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则

2x**2x*2x*2x*22x此方程为 .

4．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

5．与初值问题x???2x??7tx?e,x(1)?7,x?(1)??2等价的一阶方程组的初值问题为 .

三、求下列一阶微分方程的通解.

1. (x?1)y??2xy?0 2.

22?t2dy?y?y2(cosx?sinx) dx3. (x?4y)y??2x?3y?5 四、求下列高阶方程的通解. 1. tx???2tx??2x?0 2. x????x???2x?0 精品文档

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