高三数学练习题导数与复数 - 2

（2）设曲线y?f(x)的极值点为A、B，求证：线段AB的中点在y?f(x)上.

4x2?7,x?[0,1]. 22．已知函数f(x)?2?x （Ⅰ）求f(x)的单调区间和值域；

（Ⅱ）设a?1，函数g(x)?x3?3a2x?2a,x?[0,1].若对于任意x1?[0,1],总存在x0?[0,1],

使得g(x0)?f(x1)成立，求a的取值范围.

答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B C B C A D B B A D 二、填空题 13．1?32i； 14．336； 15．{0，2}； 16．a=2，b=2.

6三、解答题 17．解：

|z1?z2|?|1?sin?cos??(cos??sin?)i|?(1?sin?cos?)2?(cos??sin?)2

?2?sin2?cos2??2?14sin22?.…………9分

故|z31?z2|的最大值为2,最小值为2. …………12分

18．解：f?(x)?3x2?3ax?3x(x?a)

当x变化时，y′、y的变化情况列表如下： x －1 （－1,0） 0 （0,a） a （a,1） 1 f′(x) + 0 － 0 + f(x) ?1?32a?b ↗ b ↘ ?a3↗ 32?b 1?2a?b 由上表可以看出，当x=0时，f(x)取得极大值b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需要比较f(0)与f(1)的大小. 6分

∵f(0)?f(?1)?32a?1?0，∴f(x)的最大值为f(0)=b=1，

f(?1)?f(a)?1(a3?3a?2)?1(a?1)222(a?2)?0， ∴f(x)的最小值为f(－1).

即?32a?1?b??362a??2，∴a?6，b=1. …………12分

3…………

19．解：C1为椭圆：

xy??1;C2为圆,x2?y2?2;C3为直线:x?3y?2?0. 32设A(3cos?,2sin?),B(3cos?,2sin?)把A、B两点的坐标代入直线C3的方程中，得 3cos??3?2sin??2?0① 3cos??3?2sin??2?0.② …………6分 ①—②得

????????????3(cos??cos?)?32(sin??sin?)?0即?23sinsin?62cossin?0

222222?tan???2?6,故有cos(???)?2?1?6??5. …………12分

???1?671?tan221?tan2???20．解：由曲线y?f(x)过（1，0）得1?a?b?c?0 ①

又f?(x)?3x2?2ax+b 则f?(?2)?12?4a?b?0 ②

f?(1)?3?2a?b??3③ ……9分.

解①②③得a?1,b??8,c?6. ……12分.

21．解：（1）f?(x)?3x2?2ax?b，由于f(x)有极大值和极小值，

??、?为3x2?2ax?b?0的两根，

2ab则?????,???,?f(?)?f(?)?(?3?a?2?b??c)?(?3?a?2?b??c)?

33(?3??3)?a(?2??2)?b(???)?2c?[(???)3?3??(???)]?a[(???)2?2??]?b(???)?2c?[(?2a3b2a2ab?2a432ab)?3??(?)]?a[(?)2?2?()]?b()?2c?a??2c…7分 333333273

（2）设A(?,f(?)),B(?,f(?),由f(???2)?(???2)?a?(3???2)?b?3???2?c?

aaa2311(?)3?a?(?)2?b?(?)?c?a?ab?c?[f(?)?f(?)] 3332732知AB的中点在y?f(x)上 …………12分

?4x2?16x?7(2x?1)(2x?7)22．解：（I）对函数f(x)求导，得f?(x)? ??22(2?x)(2?x) 令f?(x)?0解得x?1或x?7.

22当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x)

0 （0，1） 21 20 －4 （1，1） 2+ 1 －3 ?7 2－ 1所以，当x?(0,1)时，f(x)是减函数；当x?(,1)时，f(x)是增函数.

22当x?[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]. （II）对函数g(x)求导，得g?(x)?3(x2?a2).

因为a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a)?0.

因此当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时有g(x)?[g(1),g(0)]. 又g(1)?1?2a?3a2,g(0)??2a,即x?[0,1]时有g(x)?[1?2a?3a2,?2a]. 任给x1?[0,1]，f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，

2?1?2a?3a2??4,①

则[1?2a?3a,?2]?[?4,?3].即?

②

??2a??3.2解①式得 a?1或a??5；解②式得a?3.

32又a?1，故a的取值范围为1?a?3.

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