第8章最优化方法的MATLAB实现讲稿

0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 fval =

-1018 exitflag = -4

8.7 最大最小化

通常我们遇到的都是目标函数的最大化和最小化问题，但是在某些情况下，则要求使最大值最小化才有意义。例如，城市规划中需要确定急救中心、消防中心的位置，可取的目标函数应该是到所有地点最大距离的最小值，而不是到所有目的地的距离和为最小。这是两种完全不同的准则，在控制理论、逼近论、决策论中也使用最大最小化原则。 8.7.1 基本数学原理

最大最小化问题的数学模型为：

xminmax?F(x)?

?F??c(x)?0?ceq(x)?0???A?x?b ?Aeq?x?beq???lb?x?ub式中x,b,beq,lb和ub为矢量，A和Aeq为矩阵，c(x),ceq(x)和F(x)为函数，返回矢量。F(x),c(x)和ceq(x)可以是非线性函数。

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8.7.2 有关函数介绍

fminimax使多目标函数中的最坏情况达到最小化。给定初值估计，该值必须服从一定的约束条件。其调用格式如下：

●x=fminimax(fun,x0)：初值为x0，找到fun函数的最大最小化解x。 ●x=fminimax(fun,x0,A,b)：给定线性不等式Ax?b，求解最大最小化问题。 ●x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)：还给定线性等式Aeq?x?beq，求解最大最小化问题。如果没有不等式存在，设置A=[]、b=[]。

●x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)：还为设计变量x定义一系列下限lb和上限ub，使得总有lb?x?ub。

●x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)：在nonlcon参数中给定非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。fminimax函数要求c(x)?0且ceq(x)?0。若无边界存在，则设lb =[]和（或）ub =[]。

●x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)：用options参数指定的参数进行优化。

●x=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,┅)：将问题参数P1,P2等直接传递给函数fun和nonlcon。如果不需要变量A,b,Aeq,beq,lb,ub，nonlcon和options，则将它们设置为空矩阵。

●[x,fval]=fminimax(…)：还返回解x处的目标函数值。

●[x,fval,maxfval]=fminimax(…)：还返回解x处的最大函数值。 ●[x,fval,maxfval,exitflag]=fminimax(…)：返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件。

●[x,fval,maxfval,exitflag,output]=fminimax(…)：返回描述优化信息的结构输出output参数。

●[x,fval,maxfval,exitflag,output,lambda]= fmincon(…)：返回包含解x处拉格朗日乘子的lambda参数。

其中，maxfval变量为解x处函数值的最大值，即maxfval=max{fun(x)}。 使用fminimax函数时需要注意下面几个问题：

⑴在options.MinAbsMax中设置F最大绝对值最小化了的目标数。该目标应该放到F的第1个元素中去。

⑵当提供了等式约束并且在二次子问题中发现并剔除了因变等式时，则在等式连续的情况下才被剔除。若系统不连续，则子问题不可行并且在过程标题中打印‘infeasible’字样。

另外，要求目标函数必须连续，否则fminimax函数有可能给出局部最优解。

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8.7.3 应用实例

例8－8 定位问题。

设某城市有某种物品的10个需求点，第i个需求点Pi的坐标为(ai,bi)，道路网与坐标轴平行，彼此正交。现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在x界于[5,8]，y界于[5,8]的范围内。问该中心应建在何处为好？ Pi点的坐标为：

ai：1 4 3 5 9 12 6 20 17 8 bi：2 10 8 18 1 4 5 10 8 9

解 设供应中心的位置为(x,y)，要求它到最远需求点的距离尽可能小。由于此处应采用沿道路行走的距离，可知用户Pi到该中心的距离为：

|x?ai|?|y?bi|。

从而可得目标函数如下：

x,yminmax?|x?ai|?|y?bi|?

1?i?m创建目标函数（文件名为example8_7_3a.m）： function f=example11_3_3a(x) a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8]'; b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9]'; f=abs(x(1)-a)+abs(x(2)-b); end

输入初值，调用fminimax函数进行计算： x0=[7;7];

lb=[5;5];ub=[8;8];

[x,fval,maxfval]=fminimax(@example8_7_3a,x0,[],[],[],[],lb,ub) 运行结果： x = 8 8 fval = 13 6 5 13 8

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8 5 14 9 1 maxfval =

14.0000（最小的最大距离）

8.8 多目标决策

前面介绍的规划问题只有一个目标函数，是单目标最优化问题。但是，在许多实际工程问题中，往往希望多个指标都达到最优值，所以就有多个目标函数。这种问题称为多目标规划问题。多目标规划有权和法、?约束法、目标达到法和改进的目标达到法等多种解法。 8.8.1有关函数介绍

利用fgoalattain函数求解多目标达到问题。假设多目标达到问题的数学模型为

min?

x,??F(x)?weight???goal?c(x)?0???ceq(x)?0 ??A?x?b?Aeq?x?beq???lb?x?ub式中x,weight,goal,b,beq,lb和ub为矢量，A和Aeq为矩阵，c(x),ceq(x)和F(x)为函数，返回矢量。F(x),c(x)和ceq(x)可以是非线性

函数。

fgoalattain函数的调用格式如下。

●x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)：试图通过变化x来使目标函数fun达到goal指定的目标。初值为x0，weight参数指定权重。

●x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)：求解目标达到问题，约束条件为线性不等式A?x?b。

●x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)：求解目标达到问题，除提

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