数码相机定位系统的数学模型

数码相机定位系统的数学模型

摘要：

随着数码技术的迅速发展，在许多场合人们已逐渐采用数码相机作为主要的图像采集设备，而运用数码相机定位是数码相机最重要的应用之一。

数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。在双目定位中，数码相机的系统标定是关键的一步。在系统标定中，需要解决两个最重要的问题，即确定“特征点”在像平面中的精确坐标的问题和利用这些精确的坐标通过坐标变换得到两部相机相对位置的问题。

针对确定“特征点”在像平面中的精确坐标的问题，文章讨论了数码相机的成像和变形机理，并通过分析，定性地得到物平面上的圆在像平面上形成的曲线的特征。通过对这些特征的分析，文章确定采取“中点坐标法”和“重心法”相结合的算法求解圆心在像平面上的坐标，这两种方法所求解的结果的高度一致性，证明了算法的可行性。通过“中点坐标法”和“重心法”的相互检验验证并提高各自模型的精度和稳定性，进行组合算法设计。实践证明，这种方法精度较高。

针对利用“特征点”的坐标得到两部相机相对位置的问题，文章主要讨论了如何通过标靶的成像对数码相机的位置进行定位，即讨论求解数码相机光心在给定世界坐标系中的坐标。用已知对应点确定模型中四个坐标系的变化矩阵。文章采用三个成直角关系的特征点来实现外参数标定，该方法是利用三角形标定装置的成像过程，建立一个与标定装置相似的三角形，再利用三角形的两直角相交的特点，建立数码相机外部参数的数学模型。在求解了外部参数的基础上，对矩阵进行逆变换得到数码相机在世界坐标系中的坐标。文章最后还讨论了在已知两张图像时，通过矩阵变换得到一个数码相机相对于另一个数码相机的相对位置的方法。

关键词：物平面 像平面 中点坐标法 重心法 坐标变换

1、问题的重述

数码相机定位在交通监管方面有广泛的应用。数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标。对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。实际上，无论在物平面或像平面上都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。因此我们采用的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），而它们的圆心就是几何的点。只是这些圆的像一般会变形，所以必须从靶标上圆的像中把圆心的像精确地找到，然后再进行标定。

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因此我们需要解决的问题是：

1、由给定的靶标的像建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。

2、根据给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。 3、设计一种方法检验构造的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论。 4、建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

2、问题的分析

本问题需要依据问题重述的介绍，步步递进的求解。我们需要用MATLAB，对靶标上圆的像进行处理，得到其外边的点的像素坐标，然后用某种算法得到圆点的坐标，然后设计几组实例对已经构造出来的模型进行验证，并对方法的精度和稳定性进行讨论。最后建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

首先我们要讨论数码相机的成像和变形机理，并通过分析，定性地得到物平面上的圆在像平面上形成的曲线的特征。通过对这些特征的分析，我们才能确定采取适当的算法求解圆心在像平面上的坐标。并且设计检验方法，验证并提高模型的精度和稳定性。

接着，我们还需要讨论如何通过标靶的成像对数码相机的位置进行定位，即讨论求解数码相机光心在给定世界坐标系中的坐标。我们采取的方法是：用已知对应点确定模型中四个坐标系的变化矩阵。为了减轻运算量，我们采用三个成直角关系的特征点来实现外参数标定，可以利用三角形标定装置的成像过程，建立一个与标定装置相似的三角形，再利用三角形的两直角相交的特点，建立数码相机外部参数的数学模型。在求解了外部参数的基础上，我们对矩阵进行逆变换得就能得到数码相机在世界坐标系中的坐标。

最后，我们还要讨论在已知两张图像时，通过矩阵变换得到一个数码相机相对于另一个数码相机的相对位置的方法。

3、模型的假设

本模型要基于以下两个假设：

1、不考虑图片本身可能存在的噪声等干扰因素，将所给图片作为二进制图像进行处理和提取像素点。

2、与相机不同距离的图像所成的像的像距不一样（产生原因如图3.1所示），本模型的假设忽略这种原因引起的图像聚焦问题，即假设不同物距（物体距离光学中心的距离）具有近似相同的像距。

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A’1 A’2 A1 A2

图3.1 像距不同引起聚焦问题的示意图

4、符号系统

图 4.1 系统成像示意图

如图4.1所示：

l0：光学中心到光轴与物平面的交点O’的距离

f：相机的像距（即像平面到光学中心的距离）

?：光轴与物平面的夹角

5、系统光学物理结构的推导

5.1、空间中任意一点在数码相机中的成像

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h h’ f l 图5.1 空间中任意一点成像示意图

描述空间中的任意一点，可以这样：设该点为A，A到光轴上的距离为h，垂足为B，设光轴及其投影所形成的平面饶该轴的角度为0,这样AB绕该光轴相

‘‘对该起始角角度为?,同样该店所成的像在像平面上分别为A’、B’、 h、?。

由透镜成像原理可知：

hf‘h＝ （5.1.1）

l‘??? （5.1.2）

5.2、具有约束的点在数码相机中的成像

由上面的分析了可知，通过物理方法，空间中的任意一点都可以描述出它成像的位置。因此，具有约束的点形成的轨迹便可以用轨迹法求取。

l0 ?

图5.2 空间中任意一点成像示意图

如图5.2所示，物平面坐标系这样建立：光轴及其投影所形成的平面与物平面的交线为X轴，交点为原点，垂直于X轴方向为Y轴，建立平面直角坐标系。

通过空间几何关系可知：

‘l?l0?xcos?

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