福州三中2010届高考模拟考试卷数学（理科）2010.5.26（已整理）

福州三中2010届高考模拟考试数学（理科）参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分． 1 C 6 C 二、填空题：每小题4分，共20分． 11． 12． 13．

2 A 7 D 3 A 8 D 4 B 9 A 5 B 10 B 2 16

14． 15．

4 5

3/4

三、解答题：本大题共6小题，共80分． 16．解：（Ⅰ）依题意得，周期T?4?1?3，

2?2??， ??2分 T31?232?3???)??1， ?时，sin(由对称性知，当x?2232?3所以?????，所以??， ??4分

222??x?)． 所以f(x)?sin( ??5分 323所以函数f(x)的单调减区间是[3k,3k?],k?Z． ??7分

22??2?x?)?cosx， （Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)?sin(3232?2?2?2?x)?cosx?2cos2x?cosx?1， 所以g(x)?cos(2?33332?x?t，则t?[?1,1]， 令cos ??11分 31292所以y?2t?t?1?2(t?)?，

489所以g(x)的值域为[?,2]． ??13分

817．解：（Ⅰ）取AA1中点O，连接CO，BO． ?CA?CA1，?CO?AA1， 又∵BA?BA ??2分 1，∴BO?AA1， ?BO?CO?O，?AA1?平面BOC， ?BC?平面BOC，?AA1?BC． ??3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）CO?AA1， 又侧面AA1C1C?侧面ABB1A1，侧面AA1C1C?侧面ABB1A1=AA1 ?CO?平面ABB1A1，而BO?AA1，∴OA，OB，OC两两垂直． 如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则

所以??

5

有O(0,0,0),A(1,0,0),A,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3),B1(?2,1,0)， 1(?1 ??5分

设n1?(x1,y1,z1)是平面ABC的一个法向量，

n2?(x2,y2,z2)是平面A1BC的一个法向量，

?CA?(1,0,?3),CB?(0,1,?3)， 由??n1?CA?0,即??n?x1?3z1?0,解得??x1?3z1,1?CB?0,?y1?3z1?0.y?3z

?11,令z1?1，∴n1?(3,3,1)．

又?A1B?(1,1,0),A1C?(1,0,3)， 由??n2?A1B?0,即?x2?y2?0,?x2??3z2,?n?2?A1C?0,?x2?3z2?0.解得??y2?3z

2,令z2??1，∴n2?(3,?3,?1)．

??7分

设二面角A?BC?A1为?，则cos??n1?n2nn?1，

1?27所以二面角A?BC?A11的余弦值是

7． ??9分

（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，∵CA1?(?1,0,?3)， 故可设CE??CA1??(?1,0,?3)，

??10分

则OE?OC??CA1?(0,0,3)??(?1,0,?3)?(??,0,3?3?)， ?BD?2DB441，?D(?3,1,0)，?DE?(???3,?1,3?3?)，

?DE//平面ABC，?DE?n1?0，

即3(???43)?3?(?1)?1?(3?3?)?0，

解得??2

3， ??12分

?CE?23CA?413． ??13分

zCC1xAAO1BBy1

18．解：（Ⅰ）记“从该班任意选2名学生，他们参加活动次数不相等”为事件A，

6

2基本事件总数n?C50，

??2分

事件A的对立事件A为“从该班任选2名学生，它们参加活动的次数恰好相等”，

222A包含的基本事件数m?C5， ??4分 ?C25?C20m2029?1??所以P(A)?1?。 n4949答：从该班任意选2名学生，他们参加活动次数不相等的概率为

29。??6分 49（Ⅱ）从该班中任选2名学生，用?表示这两个人参加活动次数之差的绝对值，则?的可能取值分别是0,1,2。

于是P(??0)?2049，P(??1)?C1C11125C11525C25C205C204C2?2?，P(??3)?2?。50C5049C5049从而?的分布列为：

??10分

所以E??0?202549?1?49?2?449?3349． ??13分 19．解：（Ⅰ）方案一：选择②确定椭圆E． 设椭圆右焦点F(c,0)（c?0）．

由F到直线l:x?y?1?0的距离d?|c?1|2?22， ??2分

解得c?3．

由e?c22a?2，及a?b2?c2， 解得a2?18，b2?9．

??4分 所以椭圆E的方程为

x2y218?9?1．

??5分

方案二：由①确定椭圆E．

因为e?ca?22，所以a2?2c2，从而a2?2b2， 可设椭圆E:x2?2y2?2b2． ??1分 因为A，B关于直线l对称，可设直线AB的方程为y??x?m．

?x2?2y2由??2b2,m,得3x2?4mx?2m2?2b2?0． ?y??x?设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，

7

则x10?2(x?x2m112)?3，所以y0??x0?m?3m． 又点M在直线l上，所以213m?3m?1，

解得m??3，即直线AB：y??x?3． ??3分

此时??24b2?72?0，所以b2?3．

令y?0，得x??3，所以椭圆的一个焦点为(?3,0)，即c?3．

下同方案一，求得椭圆E的方程为

x218?y29?1． ??5分

方案三：由③确定椭圆E．

设椭圆左、右焦点到直线l:x?y?1?0的距离之比为12， 可得

|c?1||c?1|?12，解得c?3，或c?13． ??2分

由方案二，当c?113时，b?3，椭圆上不存在关于l对称的两点，应舍去．

下同方案一，求得椭圆E的方程为x218?y29?1． ??5分 （Ⅱ）因为e?c22222a?2，所以a?2c，从而a?2b，

可设椭圆E:x2?2y2?2b2．

因为A，B关于直线l对称，可设直线AB的方程为y??x?m。

由??x2?2y2?2b2,?x?m,得3x2?4mx?2m2?2b2?0． ??7分 ?y?4m2m2?2b2设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?3，x1x2?3，

若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S(0,b)，

则SA?SB?(x1,y1?b)?(x2,y2?b)?0， 即2x221x2?(b?m)(x1?x2)?m?2mb?b?0． ??9分

记AB的中点M(x10,y0)，则x0?2(x2m11?x2)?3，所以y0??x0?m?3m．又点M在直线l上，所以

23m?13m?1，解得m??3， 所以

36?4b23?4(b?3)?9?6b?b2?0， ??11分 化简，得b2?6b?27?0，解得b?9，或b??3（不合，舍去）． 经经验，当b?9时，以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S． 所以b?9． ??13分

20．解：

8