2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训5数列的通项与求和文

专题限时集训(五) 数列的通项与求和

[建议A、B组各用时：45分钟]

[A组 高考达标]

一、选择题

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N)，则an＝( )

A．2C．2

n＋1

*

B．2 D．2

n－2

nn－1

A [由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2

n－1

＝2

n＋1

，故选A.]

2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝

n－1

an－1，则a5＝( ) n【导学号：04024063】

1A. 5C.5

A [因为a1＝1，且当n≥2时，an＝

1

B. 6D．6

n－1ann－1a5a4a3a2

an－1，则＝，所以a5＝····a1，nan－1na4a3a2a1

43211

即a5＝××××1＝.故选A.]

543253.A.

1111＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋1

2

2

的值为( )

－1

n＋1

2n＋23n＋1B.－ 42n＋2311D.－＋ 2n＋1n＋21

n＋2

1?31?1＋C.－??

42?n＋1n＋2?C [∵

1n＋1

2

1＝2＝－1n＋2nn1?1?1

＝?－?， 2?nn＋2?∴

1111＋2＋2＋…＋2－13－14－1n＋1

2

2

11?1?11111

＝?1－＋－＋－＋…＋－

nn＋2?－12?32435?

11?1?3

－＝?－?

2?2n＋1n＋2?

1?31?1＋＝－??.]

42?n＋1n＋2?

4．(2017·广州二模)数列{an}满足a2＝2，an＋2＋(－1)的前n项和，则S100＝( ) A．5 100 C.2 500 B [由an＋2＋(－1)

n＋1

n＋1

an＝1＋(－1)n(n∈N*)，Sn为数列{an}

B．2 550 D．2 450

an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4

－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，数列{an}的奇数项相邻两项的和为0，偶数50×49

项是首项为a2＝2、公差为2的等差数列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2 550，

2故选B.]

5．(2017·呼和浩特一模)等差数列{an}中，a2＝8，前6项的和S6＝66，设bn＝

2

，

n＋1anTn＝b1＋b2＋…＋bn，则Tn＝( )

A．1－

1 n＋1

B．1－

1 n＋2

11C.－ 2n＋1

??6a1＋15d＝66，

D [由题意得?

?a1＋d＝8，?

11

D.－ 2n＋2

??a1＝6，解得?

?d＝2，?

1

11

－，所n＋1n＋2

所以an＝2n＋4，因此bn＝

2

n＋12n＋4

＝

n＋1n＋2

＝11111111以Tn＝－＋－＋…＋－＝－，故选D.]

2334n＋1n＋22n＋2二、填空题

6．(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________.

【导学号：04024064】

20

[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋27

3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴

an11

＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比an－133

?1?4

1－?－??3?80320

的等比数列，∴S4＝＝×＝.] 1814271＋3

7．(2017·东北三省四市联考)《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠

重几何？”意思：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．

15斤 [由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a1＝4，a5＝2，则S5＝5

a1＋a5

2

＝15，故金箠重15斤．]

?1?

8．(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列??

?Sn?

的前n项和为__________．

n [令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k2n＋1

112

＝4，所以Sn＝4n－1，＝2＝

Sn4n－1

1

2n＋1

1?1?1－＝??，则数列

2n－12?2n－12n＋1?

?1?1?1?1?1?1?1?11?1?1n??的前n项和为?1－?＋?－?＋…＋?－＝?1－＝.] ??2?3?2?35?2?2n－12n＋1?2?2n＋1?2n＋1?Sn?

三、解答题

9．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.

(1)求{an}的通项公式；

?an?

?的前n项和． (2)求数列?

?2n＋1?

[解]

(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，

2分

a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，

两式相减得(2n－1)an＝2， 2

所以an＝(n≥2)．

2n－1又由题设可得a1＝2，满足上式， 所以{an}的通项公式为an＝(2)记?

?

4分

2

． 2n－1

6分

an?

?的前n项和为Sn. ?2n＋1?

an2

2n＋1

11＝－，9分

2n－12n－12n＋1

由(1)知＝

2n＋1

1111112n则Sn＝－＋－＋…＋－＝．

13352n－12n＋12n＋110．设数列{an}满足a1＋3a2＋3a3＋…＋3

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.

2

12分

n－1

nan＝，n∈N*.

3

nan 【导学号：04024065】

[解] (1)因为a1＋3a2＋3a3＋…＋3

22

n－1

nan＝，①

3

n－2

所以当n≥2时，a1＋3a2＋3a3＋…＋3①－②得3

n－1

n－1an－1＝，②

3

2分 6分 6分

an＝，所以an＝n(n≥2)．

1

313

111*

在①中，令n＝1，得a1＝，满足an＝n，所以an＝n(n∈N)．

3331nn(2)由(1)知an＝n，故bn＝＝n×3.

3an则Sn＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3，③ 3Sn＝1×3＋2×3＋3×3＋…＋n×3

2

3

4

2

3

4

1

2

3

nn＋1

，④

n＋1

8分

3

＝

1－31－3

n③－④得－2Sn＝3＋3＋3＋3＋…＋3－n×3

3

所以Sn＝＋

4

2n－1×3

4

n＋1

*

n－n×3

n＋1

，

11分 12分

(n∈N)．

[B组 名校冲刺]

一、选择题

1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝A.C.

9

118 11

1

anan＋1

，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )

10B． 11D.12 11

B [y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)， 即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，