安徽省太和二中高考导数解答题集锦之一（word版精品有答案）

安徽省太和二中高考导数解答题集锦之一(word版精品有答案)

lnx?kex（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数）1.已知函数f(x) = ，曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处

的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f(x)的单调区间；

?2（Ⅲ）设g(x)=(x2+x) f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)?1?e。

1?k?lnx1?klnx?kx?0xx??f(x)?f(1)?0eee解析：由f(x) = 可得，而，即，解得k?1； 1?1?lnxx??ex（Ⅱ）f(x)?，令f(x)?0可得x?1，

f?(x)?11?1?lnx?0f?(x)??1?lnx?0xx；当x?1时，。

当0?x?1时，

于是f(x)在区间(0,1)内为增函数；在(1,??)内为减函数。

1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2xg(x)?(x?x)?xeex简证（Ⅲ），

22x?21?x?0,lnx?0,x?x?0,e?0g(x)?0?1?ex?1当时， ，.

1?1?lnx1?x2?(x2?x)lnx2?2xg(x)?(x?x)??1?eexex当0?x?1时，要证。

22x?21?x?(x?x)lnx?e(1?e)，然后构造函数即可证明。 只需证

2. 已知函数f(x)=x?ln(x+a)的最小值为0，其中a>0. （Ⅰ）求a的值；

2x?[0,+?)f(x)?kx（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数k的最小值；

n（Ⅲ）证明

?2i?1?ln(2n+1)<2(n?N)*i=12.

1x22221?k?,?f(x)?.?f（)??222i?1(2i?1)2(2i?3)(2i?1) 答案: （Ⅰ）a?1 （Ⅱ）2 （Ⅲ）

3. 已知函数f(x)满足满足

f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?12x2；

（1）求f(x)的解析式及单调区间；

f(x)?（2）若

12x?ax?b2，求(a?1)b的最大值。

f(x)?f?(1)ex?1?f(0)x?【解析】（1）

令x?1得：f(0)?1

12x?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x2

f(x)?f?(1)ex?1?x?

12x?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e2

f(x)?ex?x? 得：

12x?g(x)?f?(x)?ex?1?x2

x?g(x)?e?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增

???? f(x)?0?f(0)?x?0,f(x)?0?f(0)?x?0

得：f(x)的解析式为

f(x)?ex?x?12x2

且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0)

f(x)? （2）

12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0x?h(x)?e?(a?1) 2得

? ①当a?1?0时，h(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增

x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾

②当a?1?0时，h(x)?0?x?ln(a?1),h(x)?0?x?ln(a?1) 得：当x?ln(a?1)时，

2??h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0

2 (a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0)

22F(x)?x?xlnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx) 令

???0x? F(x)?0e,?F(?x)?0?x e

当x?e时，F(x)max?e2

e 当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为2

f(x)?aex?4.设

1?b(a?0)xae

（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为

y?3x2；求a,b的值。

11a2t2?1y?at??b?y??a?2?xt?e(t?1)atatat2 【解析】（I）设；则? ①当a?1时，y?0?y?at?1?bat在t?1上是增函数

a?1?ba

得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为

②当0?a?1时，

y?at?1?b?2?bat

1,x??lna)a时，f(x)的最小值为b?2

at?1(t?ex? 当且仅当

f(x)?aex?（II）

11x??b?f(x)?ae?aexaex

12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2???3??f?(2)???ae2?1?3?b?1?22??ae2?2 ? 由题意得：

5.已知函数f（x）=ex＋ax2-ex，a∈R。

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）试确定a的取值范围，使得曲线y=f（x）上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P。

答案: （Ⅰ）(1,??)?;(??.1)?.（Ⅱ）P(ln(?2a),f(ln(?2a)).

ax6. 已知函数f(x)=?e?x，其中a≠0.

若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合.

A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))(x1?x2)，（2）在函数f(x)的图像上取定两点记直线AB的斜率为K，问：

是否存在x0∈（x1，x2），使

f?(x0)?k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.

ax【解析】（Ⅰ）若a?0，则对一切x?0，f(x)?e?x?1，这与题设矛盾，又a?0，

故a?0.

?而f(x)?ae?1,令

x?当

axf?(x)?0,得x?11ln.aa

111111lnx?lnx?lnaa时，f?(x)?0,f(x)单调递减；aa时，f?(x)?0,f(x)单调递增，aa当故当

11111f(ln)??ln.aaa 时，f(x)取最小值aa于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当

111?ln?1 aaa. ①

?令g(t)?t?tlnt,则g(t)??lnt.

??当0?t?1时，g(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g(t)?0,g(t)单调递减. 1?1g(t)g(1)?1t?1故当时，取最大值.因此，当且仅当a即a?1时，①式成立.

综上所述，a的取值集合为

?1?.

f(x2)?f(x1)eax2?eax1k???1.x2?x1x2?x1（Ⅱ）由题意知， eax2?eax1?(x)?f?(x)?k?ae?,x?x21令则

axeax1a(x2?x1)??(x1)??e?a(x2?x1)?1?,??x2?x1 eax2??(x2)?ea(x1?x2)?a(x1?x2)?1???.x2?x1