同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案 人教版

8、已知sinθ=

1?a3a?1，cosθ=，若θ是第二象限角，求实数a的值.

1?a1?a?1?a?0?1?a?1，?3a?111??0，解：依题意得??1? 解得a=或a=1（舍去）. 故实数a=. 1?a99??1?a23a?12（）?（）?1.?1?a1?a?9、 求sin21°+sin22°+…+sin290°.

分析：sin21°+cos21°=sin21°+sin289°=1. 故可倒序相加求和.

解：设S=sin20°+sin21°+sin22°+…+sin290°，S=sin290°+sin289°+sin288°+…+sin20°，∴2S=（sin20°+sin290°）+…+（sin290°+sin20°）=1×91.∴S=45.5. 10、已知sinα+cosβ=1，求y=sin2α+cosβ的取值范围.

分析：本题易错解为y=sin2α+1－sinα，sinα∈［－1，1］，然后求y的取值范围.

123）+. 24∵sinα+cosβ=1，∴cosβ=1－sinα. 解：y=sin2α－sinα+1=（sinα－

??1?1?sin???，3∴? ∴sinα∈［0，1］. ∴y∈［，1］.

4????sin????11、已知sin?,cos?是方程4x?4mx?2m?1?0的两个根，

23????2?，求角?． 2?sin??cos??m?2m?1?2解：∵?sin??cos??，代入(sin??cos?)?1?2sin??cos?，

4?2???16(m?2m?1)?0?1?33?2m?1得m?，又???2?，∴sin??cos???0，

2241?3?313?sin??cos??m?,cos??，又∵，∴sin?????2?，

22225?∴??．

6

12、化简（1）

sin?k?????cos[(k?1)???] （k?Z）

sin[(k?1)???]?cos(k???)1?sin6??cos6? （2） 24sin??sin? 解：（1）当k为偶数时，原式=?sin??(?cos?)=－1；当k为奇数时同理可得，原式=－1，

?sin?cos?故当k?Z时，原式=-1。

1??sin2??cos2???[sin2??cos2???3sin2??cos2?] （2）原式==3 22sin??1?sin??2 【思维点拨】（1）分清k的奇偶，决定函数值符号是关键；

（2）平方降次是化简的重要手段之一。

13、若sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0，

??1?sin1?sin2+2. 化简

??1?sin1?sin22解：由所给条件知α是第二象限角，则

1?sin?是第一或第三象限角. 2?2?1?sin?2=

2原式=

1?sin2?2?|cos|2

???2sec（是第一象限角），??22=?

????2sec（是第三象限角）.?22?14、证明：

2?cos??sin??cos?sin? ??1?sin??cos?1?sin?1?cos?cos??cos2??sin??sin2??cos??sin???1?sin??cos???法一：右边=

?1?sin???1?cos???1?sin???1?cos???2?cos??sin???1?sin??cos??2?cos??sin???1?sin??cos???2?1?sin??cos??sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?2?cos??sin???1?sin??cos???右边

??1?sin??cos??2法二：要证等式 即证

?cos??sin???1?sin??cos?? 2?cos??sin??cos?sin?????1?sin???1?cos??1?sin??cos?1?sin?1?cos?2只需证2?1?sin???1?cos????1?sin??cos??

即证

2?2sin??2cos??2sin?cos??1?sin2??cos2??2sin??2cos??2sin?cos?即1?sin??cos?显然成立

所以原等式成立。

思维点拨：证等式常用方法：（1）左边证明到右边或右边证明到左边（从繁到简为原则） （2）两边向中间证（3）分析法 15、求证：

22tan?sin?tan??sin? ?tan??sin?tan?sin?sin2?sin??证明：左边=

sin??sin?cos?1?cos?右边=

sin??sin?cos?1?cos??1?cos???1?cos??sin???? 2sin?sin??1?cos??1?cos?sin?所以原等式成立

思维点拨：“切割化弦”，“化异为同”

tanAa2?2，判断△ABC的形状。 16、△ABC中，若

tanBbsinAcosBsin2AcosBsinA解一：由正弦定理：? 即：??sin2A?sin2B

sinBcosAsin2AcosAsinB∴2A = 2B 或 2A = 180? ? 2B 即：A= B 或 A + B = 90?∴△ABC为等腰或直角三角形

17、化简

?k?1）π????cos?k?1）π???（k∈Z）. sin（（sin（kπ??）?cos（kπ??）解：当k=2n（n∈Z）时，

原式==

sin（2nπ?π??）?cos（2nπ?π??）

sin（2nπ??）?cos（2nπ??）?sin?（??cos?）=－1.

?sin??cos?当k=2n+1（n∈Z）时， 原式==

?2n?2）π????cos?2n?2）π??? sin（（sin（2nπ?π??）?cos（2nπ?π??）sin??cos?=－1.

sin?（??cos?）综上结论，原式=－1.

18、（2005年北京东城区模拟题）已知tan（

（1）tanα的值；

（2）sin2α+sin2α+cos2α的值.

π+α）=2，求： 4π1?tan?1+α）==2，∴tanα=.

??tan?43（2）解法一：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α =2sinαcosα+cos2α （1）解：tan（

2sin?cos??cos2?2sin?cos??cos2?==

?sin2??cos2?2tan???3==. 2tan???2解法二：sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α =2sinαcosα+cos2α. ①

1∵tanα=，

3∴α为第一象限或第三象限角. 当α为第一象限角时，sinα=2sinαcosα+cos2α=

110，cosα=

310，代入①得

3； 2110当α为第三象限角时，sinα=－2sinαcosα+cos2α=

，cosα=－

310，代入①得

3. 23. 2综上所述sin2α+sin2α+cos2α=

19、是否存在α、β，α∈（－=2cos（

ππ，），β∈（0，π）使等式sin（3π－α）22π－β），3cos（－α）=－2cos（π+β）同时成立?若存在，求出α、β的2值；若不存在，请说明理由.

??sin??2sin?，解：由条件得???3cos??2cos??①②

①2+②2得sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=

1. 2∵α∈（－∴α=将α=

ππ，）， 22ππ或α=－. 443π代入②得cosβ=.又β∈（0，π），

24π∴β=，代入①可知，符合.

6将α=－

ππ代入②得β=，代入①可知，不符合. 46ππ，β=. 46综上可知α=