复变函数习题答案

z3?cos53π?isin53π??12?32i

⑶3?3i的平方根． 解：3??223i=6????22??i????12π6?e4

i

∴3?13i??π6?e4i?ππ??2kπ?2kπ??4?isin4??64??cos??22?11π?k?0,1?

iππ??∴z1?6??cos?isin??64?e888??411

9

πi99??z2?6??cosπ?isinπ??64?e8．

88??49.设z?e

i2πnn?1?0 ,n?2. 证明：1?z???z证明：∵z?e

i?2πn ∴zn?1，即zn?1?0．

∴?z?1??1?z???zn?1??0

又∵n≥2． ∴z≠1

从而1?z?z2+??zn?1?0

11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令

???z?a?L???z:Im???0?,

?b???其中b?e.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件.

解：如图所示．

i?

因为L?={z: Im??z?a???b?=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与

圆相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.

解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=

12．

(3)、1<|z+i|<2

解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>1，且|z|<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

所以当y→∞时有|cosz|→∞．

习题二

1. 求映射w?z?解：设z?x?iy,

1z下圆周|z|?2的像.

w?u?iv则

1x?iyx?iyx?y2u?iv?x?iy??x?iy??x?2xx?y2?i(y?2yx?y2) 2 因为x2?y2?4,所以u?iv?所以 u? x?uu5454x?34yi

54x,v??v3434y

,y?

u5222所以

??542?v??342?2即

???v3222???1，表示椭圆.

2. 在映射w?z2下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w??ei?或

w?u?iv.

（1）0?r?2,??π4； （2）0?r?2,0???π4;

(3) x=a, y=b.(a, b为实数)

解：设w?u?iv?(x?iy)2?x2?y2?2xyi 所以u?x2?y2,v?2xy. (1) 记w??ei?，则0?r?2,??0???4,??π2.

π4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

(2) 记w??ei?，则0???π4,0?r?2映成了w平面上扇形域，即0???4,0???π2.