2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第八章 第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积)

[基础题组练]

1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A．4πS C．πS

B．2πS 23D．πS

3

SS，故侧面展开图的边长为2π·＝2πS，ππ

解析：选A.由πr2＝S得圆柱的底面半径是所以圆柱的侧面积是4πS，故选A.

2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( )

A．5 C．9

B．5 D．3

解析：选B.因为圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，所以圆锥的母线l＝5，所以圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，所以r＝5，故选B.

3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( )

1

A. 23C. 2解析：选B.

B．1 D．3

由主视图可得如图的四棱锥P-ABCD，其中平面ABCD⊥平面PCD. 3

由主视图和俯视图可知AD＝1，CD＝2，P到平面ABCD的距离为.

2113

所以四棱锥P-ABCD的体积为V＝×S长方形ABCD×h＝×1×2×＝1.故选B.

3324．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

5πA. 3πC. 3

解析：选D.

几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图，

1112π

由题意可知几何体的体积为：×12·π×2－××12·π×2＝.故选D.

2323

5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )

A．16π C．4π

B．8π D．42π 4πB．

32πD．

3

解析：选A.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DC∥AB，所以相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角．

连接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1，所以在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B与DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，AB＝BD1cos 60°，

AB

所以BD1＝＝4，设长方体ABCD-A1B1C1D1外接球的半径为R，则由长方体的

cos 60°体对角线就是长方体外接球的直径得4R2＝D1B2＝16，则R＝2，

所以长方体外接球的表面积是4πR2＝16π.故选A.

6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．

解析：

因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图， 由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，

取正方形的中心O，AD的中点E，连接PO，OE，PE，可知PO为正四棱锥的高，△PEO为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE＝22＋12＝5.

1

所以该四棱锥的侧面积S＝4××2×5＝45.

2答案：45

7.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．

r

解析：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，

2h高为，

2

r?2hπr2hV圆柱PO312?所以V圆锥SO＝πrh，V圆柱PO＝π?2?·＝，所以＝.

328V圆锥SO83

答案：

8

8．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，

因为△ABC是正三角形，

所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． 因为AB＝BC＝23，

所以S△ABC＝33，DE＝1，PE＝2.

1

所以S表＝3××23×2＋33＝36＋33.

2

1

因为PD＝1，所以三棱锥的体积V＝×33×1＝3.

3

设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，

33

则r＝＝2－1.

36＋33答案：2－1

9．已知一个几何体的三视图如图所示．

(1)求此几何体的表面积；

(2)如果点P，Q在正视图中所示位置，P为所在线段的中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．

解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．

1

S圆锥侧＝(2πa)·(2a)＝2πa2，

2S圆柱侧＝(2πa)·(2a)＝4πa2， S圆柱底＝πa2，

所以S表＝2πa2＋4πa2＋πa2＝(2＋5)πa2. (2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图．

则PQ＝AP2＋AQ2＝a2＋（πa）2＝a1＋π2， 所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.

10.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为

6

，求该三3