初中数学拔高九年级 专题10 最优化（最值问题方法）（含答案）

专题10 最优化

阅读与思考

数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：

1．配方法

由非负数性质得?a?b??0．

22．不等分析法

通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质

对二次函数y?ax2?bx?c?a?0?，若自变量为任意实数值，则取值情况为：

b4ac?b2（1）当a?0，x??时，y最小值? ；

2a4ab4ac?b2（2）当a?0，x??时，y最大值? ；

2a4a4．构造二次方程

利用二次方程有解的条件，由判别式??0确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．

例题与求解

3x2?6x?5【例1】当x变化时，分式的最小值是 ．

12x?x?12（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．

22【例2】已知y?1，且2x?y?1，则2x?16x?3y的最小值为（ ）

A.

1927 B. 3 C. D. 13 77（太原市竞赛试题）

解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x、y的隐含限制．

x213?，在a?x?b的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b). 【例3】f?x???22解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴x?0的关系得出结论．

【例4】（1）已知y?1?x?x?122的最大值为a，最小值b，求a?b的值． 2（“《数学周报》杯”竞赛试题）

（2）求使x?4?2?8?x?2?16取得最小值的实数x的值．

4y2?16y?20取得最小值时x，y的值．

（全国初中数学联赛试题）

222（3）求使9x?4?9x?12xy?4y?1?（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）

解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．

【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？

（河南省竞赛试题）

解题思路：设铁路与公路的交点为C，AC＝x千米，BC＝y千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又设铁路每千米的运费为a元，则从A到B的运费S?an?为关于y的方程．

?y2?m2?2ay，通过有理化，将式子整理

?

【例6】（1）设xr，xr?1，…，xk（k?r），为k－r＋1个互不相同的正整数，且xr＋xr＋1＋…＋xk＝2003，求k的最大可能值．

（香港中学竞赛试题）

（2）a，b，c为正整数，且a?b?c，求c的最小值．

（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r＝1，对k－r＋1＝ k－1＋1＝k个正整数x1，x2，…，xk，不妨设x1＜x2＜…＜xk＝2013，可见，只有当各项x1，x2，…，xk的值愈小时，才能使k愈大（项数愈多），通过放缩求k的最大值；对于（2），从c2?ac2?a?b2入手．

234????能力训练

A级

1．已知三个非负数a，b，c，满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最小值为___________，最大值为 ．

2．多项式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值为 ．

3．已知x，y，z为实数，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值为 ．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．若实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2＝9，则代数式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值为 ( )

（全国初中数学联赛试题）

5．已知两点A(3，2)与B(1，－1)，点P在y轴上且使PA＋PB最短，则P的坐标是（ ）

A.(0，?1111) B.(0，0) C.(0，) D.(0，?)

642（盐城市中考试题）

6．正实数x，y满足xy?1，那么

11?的最小值为（ ） x44y4 A.

155 B. C. 1 D. E. 2842

（黄冈市竞赛试题）