（优辅资源）北京市海淀区高三5月期末练习（二模）数学（理）试题 Word版含答案

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19.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）f'(x)?aeax?1，

因为曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线与直线x?2y?3?0垂直， 所以切线l的斜率为2， 所以f'(0)?2， 所以a?3.

（Ⅱ）法1：当a?0时，显然有f(1)?ea?1?0?1，即存在实数x0使f(x0)?1； 当a?0,a?1时，由f'(x)?0可得x?11 ln，aa1111所以在x?(??,ln)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(??,ln)上递减；

aaaa1111x?(ln,??)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(ln,??)上递增

aaaa111所以f(ln)?(1?lna)是f(x)的极小值.

aaa由函数f(x)?eax?x可得f(0)?1， 11由a?1可得ln?0，

aa11所以f(ln)?f(0)?1，

aa综上，若a?1，存在实数x0使f(x0)?1.

（Ⅱ）法2：当a?0时，显然有f(1)?ea?1?0?1，即存在实数x0使f(x0)?1； 当a?0,a?1时，由f'(x)?0可得x?11 ln，aa1111所以在x?(??,ln)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(??,ln)上递减；

aaaa1111x?(ln,??)时，f'(x)?0，所以函数f(x)在(ln,??)上递增.

aaaa111?lna所以f(ln)?是f(x)的极小值.

aaa设g(x)?1?lnx?lnx，则g'(x)?2(x?0),令g'(x)?0，得x?1 xx优质文档

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x (0,1) 1 0 极大值 (1,??) g'(x) g(x) + ↗ - ↘ 所以当x?1时g(x)?g(1)?1， 11所以f(ln)?1，

aa综上，若a?1，存在实数x0使f(x0)?1.

20.（本小题满分13分） 解：

（Ⅰ）数列{an}不具有性质P(2)；

具有性质P(4).

（Ⅱ）（不充分性）对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2,L，T?{?1,0,1}是有限集，但是由于a2?a1?0,a3?a2?1，

所以不具有性质P(0)；

（必要性）因为数列{an}具有性质P(0)，

所以一定存在一组最小的m,k?N*且m?k，满足am?ak?0，即am?ak 由性质P(0)的含义可得am?1?ak?1,am?2?ak?2,L,a2m?k?1?am?1,a2m?k?am,L 所以数列{an}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak,ak?1,L,am?1为一个周期中的各项，

所以数列{an}中最多有m?1个不同的项，

2所以T最多有Cm?1个元素，即T是有限集.

（Ⅲ）因为数列{an}具有性质P(2)，数列{an}具有性质P(5)，

所以存在M',N'?N*，使得aM'?p?aM'?2，aN'?q?aN'?5，其中p,q分别是满足上述关系

式的最小的正整数，

由性质P(2),P(5)的含义可得?k?N，aM'?p?k?aM'?k?2,aN'?q?k?aN'?k?5， 若M'?N'，则取k?N'?M'，可得aN'?p?aN'?2； 若M'?N'，则取k?M'?N'，可得aM'?q?aM'?5.

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记M?max{M',N'}，则对于aM，有aM?p?aM?2，aM?q?aM?5，显然p?q， 由性质P(2),P(5)的含义可得?k?N，aM?p?k?aM?k?2,aN?q?k?aN?k?5， 所以aM?qp?aM?(aM?qp?aM?(q?1)p)?(aM?(q?1)p?aM?(q?2)p)?L?(aM?p?aM)?2q

aM?qp?aM?(aM?pq?aM?(p?1)q)?(aM?(p?1)q?aM?(p?2)q)?L?(aM?q?aM)?5p

所以aM?qp?aM?2q?aM?5p. 所以2q?5p，

又p,q是满足aM?p?aM?2，aM?q?aM?5的最小的正整数， 所以q?5,p?2，

aM?2?aM?2,aM?5?aM?5，

所以?k?N，aM?2?k?aM?k?2,aM?5?k?aM?k?5，

aM?2k?aM?2(k?1)?2?L?aM?2k，aM?5k?aM?5(k?1)?5?L?aM?5k，所以?k?N，

取N?M?5，则?k?N，

所以，若k是偶数，则aN?k?aN?k；

若k是奇数，则aN?k?aN?5?(k?5)?aN?5?(k?5)?aN?5?(k?5)?aN?k，

所以?k?N，aN?k?aN?k

所以aN,aN?1,aN?2,

,aN?k,是公差为1的等差数列.

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