氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨

氢原子光谱实验中里德伯常数计算方法的探讨

一、引言

里德伯常量，又译为雷德堡常数，是原子物理学中的基本物理常量之一。根据2002年CODATA的结果，它的值是R??1.0973731568525(73)?107m?1。1885年，瑞士数学教师约翰·雅各布·巴尔默（J. J. Balmer）在一篇论文中报告了氢原子光谱的一个经验规律，同时得出里德伯常量的近似数值。1913年，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔运用自己创立的原子模型和普朗克的量子学说第一次试图计算推导出里德伯常量的精确值。1914年，针对误差，玻尔提出，这是由于假设原子核静止不动引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子围绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的折合质量μ代替了电子质量修正了模型。玻尔把普朗克常数和里德伯常量联系起来，体现了联系的普遍性和特殊性，原子结构模型理论与原子光谱的本质联系为光谱学的发展奠定了基础1。

实验方法为由光栅衍射测出波长，进而求得里德伯常数。数据处理依照巴耳末系公式：

??1??RH(11?),n?3,4,5,6??? 22n2本实验中讨论n?3,4,5时的可见光，在基础物理实验教材2中，采用各波长求RH后再加权平均的方法，在其他教材中也有其他一些不同的算法，如直线拟合的方法。选择合理的数据处理方法是物理实验的重要环节，直接关系到结果的符合程度以及不确定度的估计，同时也是科学研究的重要手段。因此有必要对不同数据分析方法进行研究，得出最优或者较优的算法。

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E U Condon, G H Shortley, The Theory of Atomic Spectra., London; Cambridge University Press，1935 李朝荣，徐平，唐芳，王慕冰. 基础物理实验(修订版). 北京：北京航空航天大学出版社，2010

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二、氢原子光谱实验综述

衍射光栅在现代光谱分析中具有重要应用。光谱分析就是利用物质发射的光谱对其元素组成进行分析和判断。氢原子光谱是一种典型的现状光谱，它是量子理论得以建立的最重要的实验基础之一。本实验把作为分光元件的光栅和精密测角仪器的分光仪结合起来进行氢光谱的观察与测量。

三、实验原理

3.1 氢原子光谱

原子光谱是线光谱，光谱排列的规律不同，反映出原子结构的不同，研究原子结构的基本方法之一是进行光谱分析。氢原子光谱是最简单、最典型的原子光谱。瑞士物理学家巴尔末根据实验结果给出氢原子光谱在可见光区域的经验公式为：

n2?H?B2

n?4式中?H为氢原子谱线在真空中的波长，B=364.56nm,n?3,4,5若用波数??1?表示谱线，则对于巴耳末系:

。

1?n2?4?4?11??11????2???2?2??RH?2?2?

B?n?B?2n??2n?式中RH为里德伯常量。

根据玻尔理论，可得出氢和类氢原子的里德伯常数为：

Rz?2?2?e4z4?R?m? 23mm?4??0?hc1?1?MM?2?e4z4?4??0?2h3c其中：M为原子核质量，m为电子质量，e为电子电荷，c为光速，h为普朗克

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常数，?0为真空介电常数，z为原子序数。当M??时，就得到里德伯常量：

R??2?2me4z4?4??0?2hc3

里德伯常数是重要的基本物理常数之一，对它的精密测量在科学上有重要意义，它的公认值为：R??10973731.568549m?1。

3.2 光栅及其衍射分光原理

通常把由大量等宽等间距的狭缝构成的光学元件叫做衍射光栅。它能使入射光的振幅或位相，或者两者同时产生周期性空间调制。光栅最重要的应用是用作分光元件，分光原理可以从多缝夫琅和费衍射图象中亮线位置的光栅方程:

dsin??k?,k?0,?1,?2,???

对应于亮线的衍射角?与波长?有关，k是衍射级次。因此对于给定间距d（光栅常数）的光栅，当用多色光照明时，不同波长的同一级亮线，除零级外均不重合，即发生了色散，这就是光栅的分光原理。如果通过透镜接收，将在其焦平面上形成有序的光谱排列。若已知光栅常数，就可以测出波长。

四、里德伯常数数据处理方法

4.1 可能的一些数据处理方法

4.1.1 算数平均与加权平均

普通最小二乘法的离差平方和为：

Q(?0,?1)??(yi??0??1xi1)2????????????????(1)

i?1n如果测量量X的n次测量结果为x1,x2,???,xn，单次测量结果的不确定度

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u(x1)?u(x2)?????u(xn)?u(x)，由(1)式知，可取平均值x?u(x)??xiin作为测量结果，

u(x)作为x的不确定度。本实验中的波长不是等精密度观测量，算术平均n算法得不到X的最佳估计。在误差项等方差不相关的条件下，算术平均估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。

然而在异方差的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项?i的方差?i2大的项，在式（1）平方和中的取值就偏大，在平方和中的作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。因此由式(1)求出的不再是最小方差线性无偏估计3。

为了得到最小方差的无偏估计，采用加权最小二乘法。即在平方和中加入一个适当的权数wi，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为：

Qw(?0,?1) ??wi(yi??0??1xi1)2?????????(2)

i?1n理论上最优的权数wi为误差项方差?i2的倒数,即：

wi?1?i2

误差项方差大的项接收小的权数，以降低其在式（2）平方和中的作用; 误差项方差小的项接收大的权数，以提高其在平方和中的作用。

取权数wi?1?i2?x?xi21,由(2)式知，在本实验中需满足：()取最小?u2(xi)u(x)ii值。故最佳观测值x满足：

x?xi?(?u(x))?0 ?xi 3

2 王黎明，陈颖，杨楠. 应用回归分析. 上海：复旦大学出版社，2008.06

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