2018-2019学年浙江省杭州市高三(上)期末数学试卷

由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义可得：同理：

==

22

，即

=

＜0，

2

，即，故得解

，又＜0，即

2

＜0，即1-2k＜0，即k

本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中档题．

18.【答案】解：（Ⅰ）f（）=sin+cos=-+=0，

（Ⅱ）f（x）=sin2x+

cos2x=2sin（2x+），

当x∈[0，]时，2x+∈[，]， ∴sin（2x+）∈[，1]，

∴函数f（x）的取值范围为[1，2] 【解析】

（Ⅰ）直接代值计算即可，

（Ⅱ）先化简，再根据三角函数的性质即可求出．

本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题 19.【答案】解：（Ⅰ）当k=1时，

∴|x-1|?∴|x-1|?∴|x-1|?

=0， =0， =0，

-k（x-1）2=0，

∴|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0， ∴x=1或x=

．

） ，

（Ⅱ）∵|x-1|?（即|x-1|=0或

当x-1=0时，x=1，此时k∈R， ∴

-k|x-1|=0有三个不等于1的解，

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根据函数y=|x-1|?（x-2）的图象，得-解得k＜-4，∴k的取值范围是（-∞，-4）． 【解析】

，

（Ⅰ）当k=1时，出方程f（x）=0的解． （Ⅱ）|x-1|?（

），得|x-1|=0或

，从而

-k|x-1|=0有

-k（x-1）2=0，推导出|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0，由此能求

三个不等于1的解，由此能求出k的取值范围．

本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：（Ⅰ）由AD⊥BC可知，|DM|=|AM|，

|DN|=|AN|，

所以∠MDN=∠MAN， 因为

=12cos∠MAN=-6，

所以cos∠MAN=-，

222

所以|BC|=|AB|+|AC|-2|AB||AC|cos∠MAN=148， 所以|BC|=2， 故答案为：2

（Ⅱ）因为+=（|DB|+|DC|）=5，

所以|BC|=10， 所以∠BAC=90°， 故答案为：90°． 【解析】

（Ⅰ）由平面向量的数量积运算及余弦定理得：cos∠MAN=-，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos∠MAN=148， （Ⅱ）由平面向量的数量积运算得：|BC|=10，所以∠BAC=90°，得解

本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题． 21.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，

则

∴an=2n+3，

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+=（|DB|+|DC|）=5，即

，解得a1=5，d=2，

∴Sn==n（n+4），

（Ⅱ）∵bn+1-bn=an，

∴bn-bn-1=an-1，n≥2，n∈N*，

当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+）+（b2-b1）+b1 =an-1+an-2+…+a1+b1，

=（n-1）（n-1+4）+3=n（n+2）， 对于b1=3也适合， ∴bn=n（n+2）， ∴=

=（-）， -+-）=（--）=

∴Tn=（1-+-+…+【解析】

（Ⅰ）由题意可得设等差数列的公差为d，则求出a1，d的值，即可求出an和Sn．

（Ⅱ）先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出． 本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题．

22.【答案】解：（Ⅰ）（i）根据题意，f′（x）=

2

方程2x+ax+1=0有2个正根m，n，（不妨设m＜n），

，计算即可

，（x＞0）

故，解得：a＜-2；

（ii）证明：易知f（x）在x=m时取极大值，在x=n时取极小值，

2

由（i）知2m+am+1=0，

2

故f（m）=-m+lnm-1，

2

令g（x）=-x+lnx-1，故g′（x）=-2x，

由-2x=0，解得：x=， 故g（x）≤g（）=ln-＜0，

故f（m）＜0，f（x）至多只有1个零点， 又f（-a）=ln（-a）＞0， 故f（x）存在唯一零点；

（Ⅱ）由题意知：2x1+a++2x2+a+=0， 即a=-（x1+x2）-故f（x1）-f（x2）

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，

=-+a（x1-x2）+ln =-（-）+ln，

设t=∈（1，2），记h（t）=-++lnt， 则h′（t）=-≤0，

故h（t）递增，故h（t）∈（h（2），h（1））， 即h（t）∈（-+ln2，0），

即f（x1）-f（x2）取值范围是（-+ln2，0）． 【解析】

（Ⅰ）（i）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出

2

即可；（ii）令g（x）=-x+lnx-1，求出g（x）≤g（

）=ln-＜0，得到f（x）至多

只有1个零点，从而证明结论； （Ⅱ）求出a=-（x1+x2）-（1，2），记h（t）=-+

，以及f（x1）-f（x2）=-（

-）+ln

，设t=

∈

+lnt，根据函数的单调性求出其范围即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．

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