2020高考文科数学总复习：导数及其应用课时作业

17．(20xx年山西省平遥中学高三调研)已知函数f(x)＝x＋axlnx(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)＝x＋axlnx存在极大值，且极大值点为1，证明：f(x)≤e－x＋x2. 解：(1)由题意x>0，f′(x)＝1＋a＋alnx， ①当a＝0时，f(x)＝x，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a>0时，函数f′(x)＝1＋a＋alnx单调递增， 11f′(x)＝1＋a＋alnx＝0?x＝e－1－a>0，故当x∈(0，e－1－a)1时，f′(x)<0，当x∈(e－1－a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在11(0，e－1－a)上单调递减，函数f(x)在(e－1－a，＋∞)上单调递增； ③当a<0，函数f′(x)＝1＋a＋aln x单调递减， 11f′(x)＝1＋a＋alnx＝0?x＝e－1－a>0，故当x∈(0，e－1－a)1??时，f′(x)>0，当x∈?e－1－a，＋∞?时，f′(x)<0，所以函数f(x)在??1?1????0，e－1－?上单调递增，函数f(x)在?e－1－，＋∞?上单调递减． a?a???(2)由f′(1)＝0，得a＝－1，令h(x)＝e－x＋x2－x＋xlnx，则h′(x)＝1－e＋2x＋lnx，h″(x)＝e＋2＋x>0， －x－x∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增， ?1?12??∵h′e＝－e－e＋e－1＜0，h′(1)＝－e－1＋2＞0， ???1?∴?x0∈?e，1?，使得h′(x0)＝0， ??即－e－x0＋2x0＋ln x0＝0. 13 / 18 ∴当x∈(0，x0)时，h′(x)＜0； 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)＞0， ∴h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(x0)． 由－e－x0＋2x0＋ln x0＝0，得e－x0＝2x0＋ln x0， ∴h(x0)＝e－x0＋x20－x0＋x0ln x0 ＝(x0＋1)(x0＋ln x0)． 当x0＋lnx0<0时，lnx0<－x0?x00时，lnx0>－x0?x0>e－x0?－e－x0＋x0>0， 所以－e－x0＋x0＋x0＋lnx0>0与－e－x0＋2x0＋lnx0＝0矛盾； 当x0＋lnx0＝0时，lnx0＝－x0?x0＝e－x0?－e－x0＋x0＝0， 得－e－x0＋2x0＋lnx0＝0，故x0＋lnx0＝0成立， 得h(x0)＝(x0＋1)(x0＋lnx0)＝0，所以h(x)≥0， 即f(x)≤e－x＋x2. 18．(20xx年陕西省黄陵中学高新部高二考试)已知函数f(x)＝xlnx. (1)求函数y＝f(x)的单调区间和最小值； f（x）－a3(2)若函数F(x)＝在[1，e]上的最小值为2，求a的值； x(3)若k∈Z，且f(x)＋x－k(x－1)>0对任意x>1恒成立，求k的最大值． 1??1解：(1)f(x)的单调增区间为[e，＋∞)，单调减区间为?0，e?， ??11f(x)min＝f(e)＝－e. 14 / 18 x＋aa(2)F(x)＝ln x－x，F′(x)＝x2， (ⅰ)当a≥0时，F′(x)>0，F(x)在[1，e]上单调递增，F(x)min＝33F(1)＝－a＝2，所以a＝－2?[0，＋∞)，舍去． (ⅱ)当a<0时，F(x)在(0，－a)在上单调递减， 在(－a，＋∞)上单调递增， ①若a∈(－1，0)，F(x)在[1，e]上单调递增，F(x)min＝F(1)＝－a33＝2，所以a＝－2?(－1，0)，舍去； ②若a∈[－e，－1]，F(x)在[1，－a]上单调递减，在[－a，e]上3单调递增，所以F(x)min＝F(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e∈[－e，－1]； ③若a∈(－∞，－e), F(x)在[1，e]上单调递减， a3F(x)min＝F(e)＝1－e＝2， e所以a＝－2?(－∞，－e)，舍去． 综上所述， a＝－e. (3)由题意得，k(x－1)1恒成立， xlnx＋x即k<对任意x>1恒成立． x－1xlnx＋xx－lnx－2令h(x)＝，则h′(x)＝， x－1（x－1）2令φ(x)＝x－lnx－2(x>1)， 1x－1则φ′(x)＝1－x＝x>0， 所以函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递增， 15 / 18 因为方程φ(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一的实根x0，且x0∈(3，4)，当1x0时，φ(x)>0，即h′(x)>0. 所以函数h(x)在(1，x0)上递减，在(x0，＋∞)上单调递增． x0（1＋lnx0）x0（1＋x0－2）所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝x0∈(3，x0－1x0－14)，所以k0时，f′(x)＝－12x2＋a＝0， 33a解得x1＝6a，x2＝－6， ?3a??时，f′(x)<0， ∴当x∈?－∞，－6???3a???上递减； f(x)在－∞，－6???3a3a??时，f′(x)>0， 当x∈?－6，6???3a3a???上递增； f(x)在－，66?? 16 / 18