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初中、高中、教案、习题、试卷

2.2 排序不等式

课时过关·能力提升

1.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系

是 ( ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M

解析:取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和;

而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,“顺序和”大于“乱序和”. 答案:B ★2.已知a,b,c∈(0,+∞),则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 解析:设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3.

根据排序原理,得a4+b4+c4≥a3b+b3c+c3a. 又因为ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,

所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab. 所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab, 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 当且仅当a=b=c时等号成立. 答案:B 3.若A

A.A>B B.A

解析:不妨设0

答案:a1an+a2an-1+…+ana1

5.已知a,b,c都是正数,≥ .

解析:设a≥b≥c>0,

由排序原理,知

初中、高中、教案、习题、试卷

①+②,

当且仅当a=b=c时等号成立.

答案: 6.

设

A,B,C

为

△ABC

的

三

个

内

角

,a,b,c

为

边,

解析:不妨设a≥b≥c>0,则A≥B≥C,

由排序不等式,得aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC,

将以上三式相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)·(A+B+C)=π(a+b+c),

a=b=c或A=B=C时等号成立.

答案:

★7.设a,b,c都是正实数,求证

证明设a≥b≥c>0,

由不等式的性质,知a5≥b5≥c5. 根据排序不等式,知

又由不等式的性质,知a2≥b2≥c2

由排序不等式,得

△ABC

的

三

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由不等式的传递性,知

故原不等式成立.