2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第八章 第六节 抛物线 Word版含解析

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A级 基础夯实练

1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )

4

A．－ B．－1

33C．－

4

1D．－

2

解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，3

0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝＝－. 4－2－2

2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是( )

23

A．y2＝x

3C．y＝23x

2

3－0

B．y2＝3x 3

D．y＝x

3

2

解析：选A.根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的32

面积是43，故AB＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故

4可以设点A的坐标为(23，2)代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝3232，故所求的抛物线方程为y＝x.故选A. 33

3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为45，则抛物线C的方程为( )

A．x2＝8y C．x2＝2y

B．x2＝4y D．x2＝y

?x2＝2py，?x＝0，?x＝4p，

解析：选C.由?得?或?

?y＝2x?y＝0?y＝8p，

即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则

（4p）2＋（8p）2＝45，

得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.

4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y2＝2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为( )

A.41 C．4

B．22 D．8

解析：选B.令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为

?1?11

4a，则点A的坐标为?5a－2，4a?，代入y2＝2x中，解得a＝或a＝

28??

(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为22.

5．(2018·太原模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为→→

l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|等于( )

7

A. 2C．3

5B．

2D．2

→→→→

解析：选C.因为FP＝4FQ，所以|FP|＝4|FQ|，|PQ|3所以＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设

|PF|4

|PQ||QQ′|3

l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以＝＝，所以|QQ′|＝3，

|PF||AF|4根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.

6．(2018·江西协作体联考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x

B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x

?p?

??，设点A(0，2)，抛，0解析：选C.由已知得抛物线的焦点F2??

2

→?p??→?y0

?物线上点M(x0，y0)，则AF＝?2，－2?，AM＝2p，y0－2?.由已知得，

????

→→?8???.由|MF|＝5得，，4AF·AM＝0，即y2－8y＋16＝0，因而y＝4，M000

p

?

?

?8p?2

?－?＋16＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，即抛物线方程为?p2?

y2＝4x或y2＝16x.

7．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．

解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，

p??5把焦点坐标?0，2?代入可求得p＝，

2??5

所以准线方程为y＝－.

4

5

答案：y＝－

4

8．(2018·河北六校模拟)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．

解析：设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，

pp所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，

22ppp

又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.

442所以抛物线方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x

9．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．

解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在

抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|＝[1－（－1）]2＋（0－1）2＝5.