《机械优化设计》试卷及答案

三、问答题

1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区 答：搜索的原理是：区间消去法原理

区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割法

（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法称为插值法，又叫函数逼近法。

2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？

答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数?求解该新目标函数的无约束极值，以期得到原问题的约束最优解

3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。

答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值 4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。

答：最速下降法此法优点是直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢，越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。

5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。

四、解答题

1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最优解，设初始点x(0)=[-2，4]T,选代精度ε=0.02（迭代一步）。

2、试用牛顿法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最优解，设初始点x(0)=[2,1]T。 3、设有函数 f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。 4、求目标函数f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1，1，-2]T处具有极小值。

6、给定约束优化问题

min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0 g2(X)=－x1－2x2＋4≥0 g3(X)= x1≥0 g4(X)=x2≥0

验证在点X?[2，１]TKuhn-Tucker条件成立。

7、设非线性规划问题

minf(X)?(x1?2)?x2g1(X)?x1?0g2(X)?x2?0g3(X)?x1?x2?1?02222

s.t.

用K-T条件验证X

*??1,0?T为其约束最优点。

10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

14、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

判断题

1,二元函数等值线密集的区域函数值变化慢 x 2海塞矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式大于零 x 3; 当迭代点接近极小点时,步长变得很小, 越走越慢 v 4二元函数等值线疏密程度变化 5 变尺度法不需海塞矩阵v 6梯度法两次的梯度相互垂直v