数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义（完整版）

35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内

心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）

NAIBMC

36．设T为△ABC的内切圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I1、I2分别为

△ABD、△ACD的内心。求证：T I1⊥T I2。（10081701-9.gsp）

AI2I1BDTC

37．矩形ABCD中，AB＝2AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、

PD分别交AB于F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）

PAFEBCD

38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线

PCE，联结直线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（10081001-4.gsp）

AFOEDCBP

39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别

交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（10081001-5.gsp）

PCAEBFO

40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE

垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。（09042001.gsp）

BDKDCFGAOE

41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。过D作PA的平行线，分

别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（09031302.gsp）

PBCADOFE

42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，

且∠ACP=∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。（10090101-1.gsp）

APQ

43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三

点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：DEPF是平行四边形。（10091701.gsp）

ABCOBDEFCP

44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB、CD的中点，M是EF的中点，

自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。（10091701-1.gsp）

AQDEMFBPC

45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向

1BC边作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝∠BAC。求证：DE⊥BC。

2（10081701-1.gsp）

AI1I2BDC

46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。求证：

PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（2004年IMO）（10091701-6.gsp）（09030801.gsp）

AEBPDC